Annuler
connectez vous
en post-bac
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Reprise d'études [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Reprise d'études
Développement limité ordre 2 en 0
Posté par Backjojo
Bonjour,
J'ai un petit exercice de maths qui me demande de faire un développement limité d'ordre 2 en 0 de la fonction tan²(x-1).
Je suis parti sur une première hypothèse qui est de calculer la dérivée en disant que c'est une fonction composée soit :
tan (x-1) * tan (x-1)... Et je développe et j'obtiens en dérivée :
2*tan(x-1)/cos²(x-1)
Je fais ensuite ma dérivée seconde et je trouve :
(2+4tan(x-1)*sin(x-1)*cos(x-1))/cos^4(x-1)
Comme tan = sin/cos, on a : 2/cos^4(x-1) + 4tan²(x-1)/cos²(x-1)
Est ce que déjà jusque là on est bon ?
Ensuite la formule de DL2 en 0 c'est :
f(x) = f(0) + f'(0)(x-0) + f''(0)(x-0)² + (x-0)²E(x-0) avec lim x->0 de E(x-0) = 0
Du coup, là j'ai :
f(x) = tan²(-1) + x(2*tan(-1)/cos²(-1)) + x²(2/cos^4(-1) + 4tan²(-1)/cos²(-1))
Est ce qu'on est d'accord pour dire que :
tan(-1) = 0 et cos(-1) = 0 ?
Si oui, alors f(x) = 2x²/1
J'ai vraiment beaucoup de mal à visualiser si mon résultat est correct d'autant plus que la question suivante est :
En déduire la limite quand lim x->1 2*tan²(x-1)/x²-1
Je m'attendais donc après le DL d'ordre 2 à avoir une fonction à peu près équivalente à celle là.
Merci pour vos retours
Cdlt
Hello,
C'est ce qu'il me semblait... mais du coup je coince :/
T'aurais une piste de la où j'ai fait une erreur ?
Bonjour Backjojo.
Les méthodes que tu décris sont bonnes, les résultats peut-être un peu moins, mais bon, ça se rectifie.
Pour la première, tu peux effectivement faire le carré du DL de , encore faut-il pousser ce DL de tan(x-1) à l'ordre 2 puisque il y a des termes constants qui vont jouer dans le carré du DL.
et mise au carré.
Et oui, tu peux prendre la formule de Taylor à l'ordre 2 car tan(x-1) est indéfiniment dérivable sur un voisinage de 0.
Alors évidemment, dans la mise au carré, tu fais un travail "minimum", en jetant à la poubelle ce qui doit l'être, sans le calculer.
Jsvdb a quoi correspond exactement tes « sec(1) », dérivée seconde ?
Au final qu'est ce que je peux « jeter » à la poubelle ? Si j'avais du cos(0), sin(0) par exemple ca serait bien plus simple car ce sont des valeurs connus... mais la avec mes cos(-1) je galère.
Mais non est ce qu'il y a plus simple comme méthode ?
J'ai vu un exemple ou fallait faire un DL ordre 3 de sin x -x /x^2 et ils ont assimilés f(x) à sin x car je cite « calculer les limites du polynôme c'est simple mais pour une fonction trigonométrique on a plus de mal »
Est ce que dans mon cas je pourrais une approximation de ce genre ?
Par définition sec(x) = 1/cos(x)
Je m'explique sur "jeter à la poubelle".
Imaginons que je doive le DL2 de la fonction f² dont je connais le DL 2 de
Alors
Et là, je calcule que ce qui m'intéresse pour avoir un DL2 de f². Par exemple ne m'intéresse pas ... poubelle !
Re,
Merci pour le retour. Je pense que je devrais m'en sortir, surtout que le prof nous a dis qu'il y avait une erreur dans l'énoncé, ce sera un DL ordre 2 en 1 & non en 0, donc je vais avoir pas mal de valeur qui vont sauter 
Merci à tous
cdlt