Inscription / Connexion Nouveau Sujet
devoir de maths :/ aidez moi, c est compliqué !!
Bonjour, pourriez vous m'aider a résoudre ces exercices ?Merci beaucoupExercice
1On considère dans ¢ l'équation suivante : (E) : 2z³+(3-7i)z²-(5+11i)z-6+6i=0a)Montrer
que (E) admet une racine réelle z1 que l'on calculera.(on posera
z= x, x dans R).b)Montrer que (E) admet une racine imaginaire pure
z2 que l'on calculera.(on posera z= iy, y dans R).c) Achever ensuite
la résolution de (E).d) donner l'écriture trigonométrique des racines
de (E) et calculer leur produit.Exercice 2Le plan complexe est muni
d'un repère orthonormal direct (O ; vecteur u ; vecteur v).On note
A le point d'affixe i.A tout point M du plan distinct de A, d'affixe
z on associe le point M' d'affixe z'=( iz) / (z-i) .1° a) Déterminer
les points M tels que l'on ait M'=M. b) Déterminer le point B' associé
au point B' d'affixe 1 ; déterminer le point C tel que le point associé
C' ait pour affixe 2.2° Etant donné un nombre complexe z ≠
i , on pose z = x + iy et z' = x' + iy' avec x,y,x',y' réels.a) Déterminer
x' et y' en fonction de x et y.b) Déterminer l'ensemble (E) des points
M≠A, pour lesquels z' est un réel.c) Déterminer l'ensemble
(F) des points M≠A, pour lesquels z' est un imaginaire pur.3°
Soit z ≠ i :a) Montrer que l'on a : z' -i = -1 / (z-i).b) Montrer
que si M est sur le cercle de centre A et de rayon 1 alors M' est
également sur ce cercle.Exercice 3Montrer en étudiant une fonction
convenable que l'équation :1939x(puissance 7) + 1949x(puissance3)
+ 1789x = 1999 , a une solution et une seule dans R.On donnera un
encadrement de cette solution a 10(puissance-2) près.Exercice41)
Comparer les nombres : 2sinx + tanx et 3x pour x= pi/3.2) On a pour
objectif de montrer que pour tout x de [0 ; pi/2 ( ; 2sinx + tanx
> 3x(inégalité d'Huygens).a) Factoriser puis donner le signe sur
R de P(x)=2X(puissance3) - 3X(puissance2) +1.b) En déduire le signe
sur [0 ;pi/2( de g(x)= P(cosx).c) Soit f définie sur [0 ;pi/2( par
f(x) = 2sinx +tanx -3x ; montrer que f est dérivable sur [0 ;pi/2(
et montrer que f'(x) est du signe de g(x).d) En déduire l'inégalité.Merci
beaucoup pour votre aide !
C'est trop long pour moi.
Je me contente de faire le premier.
1)
a)
2z³+(3-7i)z²-(5+11i)z-6+6i=0
Si E = 0 admet une racine réelle, soit "a" cette racine.
On a:
2a³+(3-7i)a²-(5+11i)a-6+6i=0
2a³+3a²-5a-6 + i(-7a²-11a+6) = 0
et donc:
2a³+3a²-5a-6 = 0 (1)
et -7a²-11a+6 = 0 (2) -> a = -2 et a = 0,428571428571
On vérifie quelle valeur de a trouvée par (2) vérifie (1), c'est
a = -2.
Donc la racine réelle est -2
a = -2
Pour reprendre les notations de l'énoncé, on a:
z1 = -2
--
b)
Si E = 0 admet une racine imaginaire pur, soit "bi" cette racine.
On a:
2z³+(3-7i)z²-(5+11i)z-6+6i=0
2(ib)³+(3-7i)(ib)²-(5+11i)(ib)-6+6i=0
-2ib³ - 3b² + 7ib² - 5ib + 11b - 6 + 6i = 0
->
-3b² + 11b - 6 = 0 (3) -> b = 3 et b = 2/3
et
-2b³ + 7b² - 5b + 6 = 0 (4)
On vérifie dans (4) si c'est b = 3 ou b = 2/3 qui vérifie l'équation.
C'est b = 3.
Donc la racine imaginaire pure est b = 3i.
Pour reprendre les notations de l'énoncé, on a:
z2 = 3i.
--
c)
E est divisible par (z + 2)(z - 3i) = z² + z(2 - 3i) - 6i
On effectue cette division et on trouve:
E = (z + 2).(z - 3i).(2z - 1 - i)
La 3 ème racine est donc z3 = (1/2) + (1/2)i
---
d)
z1 = -2
z1 = 2.(cos(Pi) + i.sin(Pi))
z2 = 3i
z2 = 3.(cos(Pi/2) + i.sin(Pi/2))
z3 = (1/2) + (1/2)i
|z3| = V((1/4)+(1/4)) = V(1/2) = (1/V2)
z3 = (1/V2).[(1/V2) + (1/V2)i]
z3 = (1/V2).(cos(Pi/4) + i.sin(Pi/4))
-------------
Sauf distraction.
J'en ai fait un autre qui était court.
Exercice 3
1939x^7 + 1949x³ + 1789x = 1999
f(x) = 1939x^7 + 1949x³ + 1789x - 1999.
f '(x) = 1939*7*x^6 + 1949*3*x² + 1789
f '(x) = 13573x^6 + 5847x² + 1789
Poser x² = t ->
13573x^6 + 5847x² + 1789 = 0 si 13573t³ + 5847t + 1789 = 0
La seule racine réelle est t = -0,263499085177
13573t³ + 5847t + 1789 a donc le signe de (t + 0,263499085177)
f'(x) a donc le signe de x² + 0,263499085177 soit > 0 quel que soit x de
R.
f(x) est croissante sur R.
lim(x->-oo) f(x) = -oo
lim(x->+oo) f(x) = +oo
Des 3 lignes précédentes, on conclut qu'un et une seule valeur de
x annule E dans R.
On recherche cette valeur par approximations successives:
On trouve:
f(0,68) = -39,29... < 0
f(0,69) = 20,0... > 0
Et donc 0,68 < solution de E(x) = 0 < 0,69
------
Sauf distraction.
Annuler
connectez vous