Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère la parobole P d'équation y=x² et le point A(1;0).
L'objet de l'exercice est de déterminer le point M de la courbe P tel que la distance AM soit minimale. Pour tout réel x, on pose f(x)=AM² où M est le point de P d'abscisse x.

1- Déterminer f(x)
2-a)  Etudier les variation de la fonction dérivée f' sur R.
b)En déduire que l'équation f'(x)=0 admet une unique solution alpha sur R. Justifier que 0< alpha <1. Puis dresser le tableau de signes de f'(x), puis le tableau de variations de f.
3- Conclure sur le problème posé.
4- Pour tout réel e>0, on recherche des valeurs approchées a et b de alpha à e près telles que a< alpha >b. Justifier que les réels cherchés a et b vérifient: f'(a)<0, f'(b)>0 et que b-a inférieur ou égal à e.

1-  f(x)= x^4+x²-2x+1

2-a) f'(x)= 4x^3+2x-2
f'(x) est strictement croissante sur ]-∞;+∞[

b) f' est continue sur R
     f' est strictement croissante sur R
    lim f' (x) x->-∞ = -∞
    lim f'(x) x->+∞ = +∞
    0 appartien à R donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f'(x)=0 admet une unique solution alpha sur R.
Par balayage à la calculatrice on obtient 0< alpha <1

c) Tableau de signe voir ci dessous

4- Cette question je sèche complètement... Pourriez-vous vérifier mes réponses précedentes et m'aider pour cette 4e question s'il vous plait?