1)

a)
f(0) = 1
lim(x->0+) f(x) = lim(x->0+) (sin(x)/x) = 1
Donc f est bien définie et continue en 0.
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Tout ce qui suit dans cette partie pour x dans [0 ; oo[ .

h(x) = sin(x) - x + (x³/6)

h'(x) = cos(x) - 1 + x²/2

h''(x) = -sin(x) + x

h'''(x) = -cos(x) + 1
et comme -1 <= cos(x) <= 1 -> h'''(x) >= 0 -> h''(x)
est croissante.
h''(0) = 0
Des 2 lignes précédentes, on conclut que h''(x) >= 0

h''(x) >= 0 -> h'(x) est croissante.
h'(0) = 1 - 1 + 0 = 0
Des 2 lignes précédentes, on conclut que h'(x) >= 0

h'(x) >= 0 -> h(x) croissante.
h(0) = 0
Des 2 lignes précédentes, on conclut que h(x) >= 0
->
sin(x) - x + (x³/6) >= 0
x - sin(x) <= x³/6

or, lors de l'étude de h''(x) ,on a montré que h''(x)
= -sin(x) + x >= 0

->
0 <= x - sin(x) <= x³/6
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b)
f '(x) =(x.cos(x)-sin(x))/x²

lim(x-> 0) f'(x) a la forme indéterminée 0/0, il faut lever cette indétermination.

Voici une méthode que tu n'as probablement pas apprise (si c'est
la cas, tu te débrouille pour en trouver une autre, par exemple avec
les développements limités ou autre).

Application de la règle de Lhospital :
lim(x-> 0) f'(x) = lim(x-> 0) [(cos(x) - x.sin(x) - cos(x))/2x]
lim(x-> 0) f'(x) = lim(x-> 0) [-sin(x)/2] = 0

Et donc la dérivée de f(x) existe en 0, f'(0) = 0
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2)
f(x) = sin(x)/x
f '(x) = (x.cos(x)-sin(x))/x²
f '(0) = 0
et f'(x) a le signe de x.cos(x) - sin(x) sur ]0 ; Pi[

Je te laissse continuer, je m'en vais au resto.
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A+