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devoir maison : droite d'euler
Bonjour voila j'arrive pas a faire la question 3,4,5,6 du dm.Pouvez-vous m'aidez svp
Soit ABC un triangle quelconque ; O le centre du cercle circonscrit.H l'orthocentre de ABC ; G son centre de gravité.
On appelle D le point diamétralement opposé a A sur le cercle circonscrit a ABC , et A' le milieu du segment [BC].
Le but de cet exercice est de montrer que les points O,G,H sont alignés.
1)Faire une figure en utilisant géogebra (je sais le faire )
2)Démontrer que HCDB est un parallélogramme (je sais le faire aussi)
3)Démontrer que les vecteurs OA+OB+OC=30G (j'y arrive pas)
4)Démontrer que les vecteurs HA+HB+HC=2HO (j'y arrive pas)
5)En déduire que les vecteurs OH=30G (après je comprend pas )
Remarque:la droite passant par ces points est appelée droite d'Euler
6)Que peut-on dire si ABC est équilatéral.
Merci de m'aider
Pour la 3)
(car G est le centre de gravité de ABC)
Pour la 4), procède de la même manière applique chasles sur chaque vecteur avec le point O.
Après on verra 
bonjour
3) G centre de gravité de (ABC) donc AG+BG+CG=O en vecteurs
donc par la relation de chasles:
(AO+OG)+(BO+OG)+(CO+OG)=0
AO+BO+CO+3OG=O
-OA-OB-OC+2OG=0
OA+OB+OC=3OG
4) HCDB parallélogramme HC=BD donc HC=BH+HD
donc HC+HB=HD
O milieu de [AD] donc 2HO=HA+HD donc HD=2HO-HA
donc
HC+HB=2HO-HA
donc
HA+HB+HC=2HO
5)
on a montré que OA+OB+OC=3OG
donc par chasles
(OH+HA)+(OH+HB)+(OH+HC)=3OG
3OH+HA+HB+HC=3OG
comme HA+HB+HC=2HO donc
3OH+2HO=3OG
OH+2(OH+HO)=3OG
OH=3OG
donc O;H et G sont alignés.
6) si ABC est équilatéral alors O, G et H sont confondus. il n'est pas de droite d'Euler dans ce cas.
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