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Niveau terminale
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Devoir Maison Maths

Posté par
Cammimmile
07-04-21 à 10:53

Le plan (P) est muni d'un repère orthonormé R = (O;i;j), d'unité 4 cm. On pose I = [0;+?[.
Partie A. On appelle f0 et f1 les fonctions de courbes représentatives respectives (C0) et (C1), définies sur I par : f0(x) = e^(-x) et f1 = xe^(-x)

1. Etude de la fonction f1.
a) Déterminer le limite de f'1 en +infini.
b) Etudier le signe de f'1 sur I et dresser le tableau de variations de f1.

2. Vérifier que pour tout x de I : f'1 (x) = f0(x)-f1(x)

3. Soit xappartenant à I, on appelle M0 et M1 les points de (C0) et (C1) d'abscisse x. Déterminer suivant les valeurs de x les positions relatives de (C0) et (C1).

4. Les graphiques
a) Comment peut-on construire (C0) à partir de la courbe d'équation (y=e^x) ?
b) Placer les points de (C1) d'abscisses 0,1 et 2 en précisant les tangentes à C1.
c) Tracer C1.

Partie B. On se propose de fabriquer,  à la suite de f0 et f1, des fonctions dérivables sur I et satisfaisant aux conditions : f'n(x) = fn-1(x)-fn(x) et fn(0) = 0 pour tout x de I et tout n appartenant à N*.

1. On pose, pour tout x de I, gn(x) = fn(x)e^x, cad, fn(x) = gn(x)e^-x
a) Calculer f'n(x) en fonction de gn(x) et g'n(x).
b) Montrer que fn satisfait aux conditions si et seulement si : g'n(x) = e^xfn-1(x) et gn(0) = 0 pour tout x de I et tout n appartenant à N*.

2. Notons n! = 1x2x3x...xn, pour tout n apparenant à N*, et 0! = 1
a) Calculer g'2(x) puis g2(x) ^pour tout x appartenant à I.
b) En déduire f2(x)
c) Montrer par récurrence que pour tout x de I et tout n appartenant à N* : fn(x) = (x^n/n!)*e^-x

Partie C. Soit a un élément non nul fixé dans I. Pour tout entier naturel n,, on pose In(a) = ?a0fn(x)dx où fn est la fonction définie dans la seconde partie.

1. Calculer I0(a).

2. En utilisant les conditions, montrer que, pour tout n plus grand ou égal à 1 : In(a)-In-1(a)=(-a^n/n!)*e^-a

3. En déduire que, pour tout n ? 0 : In(a) = 1 - (?a^k/k!)e^-a

4. On note (Cn) la courbe représentative de fa dans le repère R. Dans cette question, on pose a = 1. On définit la suite (un), pour tout n appartenant à N, par : un = 1 - (?1/k!)e^-1 =  ?0 à 1 fn(x)dx
a) Montrer que, pour tout n, un ? 0 et donner une interprétation géométrique de un.
b) Montrer que, pour tout x appartenant à [0;1] : fn(x) ?(1/n!)x^n
c) en déduire, pour toit n, l'encadrement 0 ? un ? 1/(n+1)!, puis la limite de un.
d) Déduire enfin que : e=lim en +infini (?1/k!)

J'ai répondu aux premières questions, c'est-à-dire jusqu'à la 2 de la Partie A. Je n'arrive à rien pour le reste. J'ai besoin d'aide et le devoir est à rendre *****.

Veuillez m'aider s'il vous plait.

En vous remerciant d'avance.

*modération > Cammimmile, pour la gestion du temps, cela dépendra essentiellement de ton investissement sur le sujet*

Posté par
malou Webmaster
re : Devoir Maison Maths 07-04-21 à 10:57

Bonjour
une fiche pour t'aider
Etude de la position relative de deux courbes

Posté par
Cammimmile
re : Devoir Maison Maths 07-04-21 à 11:31

Merci, j'ai réussis à finir la Partie A du devoir grâce à ça. Toutefois, il me reste les deux dernières parties que je comprends pas.

Posté par
malou Webmaster
re : Devoir Maison Maths 07-04-21 à 11:59

as-tu seulement lu la question B1a)
je me demande si tu n'as pas seulement peur de ton énoncé
mets ton énoncé en image, car le fait d'avoir édité ton 1er message a supprimé les caractères spéciaux

Posté par
Cammimmile
re : Devoir Maison Maths 07-04-21 à 12:36

Ah, je n'avais pas vu que les caractères spéciaux avaient été supprimés. En toute honnêteté, j'ai beau essayer, même la partie B, plusieurs fois même, je ne parviens à rien. Ni à le comprendre, ni à l'expliquer et encore moi à le mettre en image.



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