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Posté par
Marthre : Diagonalisation 26-02-17 à 16:18

PB()=det(A-.I2)

Posté par
Marthre : Diagonalisation 26-02-17 à 16:19

PB()=det(B-.I2)

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 27-02-17 à 12:38

B est une matrice (3,3) donc P_B(\lambda) = \det (B-\lambda.{\red I_3})=\begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 &0 \\ -1& 2-\lambda & -1\\ 0&-1 & 3-\lambda \end{vmatrix}
Calcule ce déterminant !

Posté par
Marthre : Diagonalisation 28-02-17 à 17:35


(3-)2(2-)

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 28-02-17 à 17:45

Cherche maintenant un vecteur propre associé à la valeur propre 2 !
Puis un (deux ?) vecteur(s) associé(s) à la valeur propre 3.

Posté par
lionel52re : Diagonalisation 28-02-17 à 17:57

Bof ton polynôme caractéristique !

Posté par
Marthre : Diagonalisation 28-02-17 à 21:23

(9-6+)(2-)
=(9-5)(2-)

Posté par
Marthre : Diagonalisation 28-02-17 à 22:05

Les valeurs propres sont les racines de PN() sont telles que:
PM()=0

Posté par
Marthre : Diagonalisation 28-02-17 à 22:06

Pardon je réctifie:
Les valeurs propres sontles racines de PB() sont telles que:
PB()=0

Posté par
Marthre : Diagonalisation 28-02-17 à 23:25

Donc on fait BV

BV\begin{pmatrix} 3x1&-x2 &0 \\ -x1 & 2x2 &-x3 \\ 0 & -x2 & 3x3 \end{pmatrix}

Posté par
lionel52re : Diagonalisation 01-03-17 à 01:11

Marth @ 28-02-2017 à 17:35


(3-)2(2-)


Marth @ 28-02-2017 à 21:23

(9-6+)(2-)
=(9-5)(2-)



....

Posté par
Marthre : Diagonalisation 01-03-17 à 01:27

Je voulais juste calculer l'identité remarquable (a-b)² j'aurais pas du.
Mais il me semble que ce que j'ai mis à mon message du 23h25 est correct comme réponse ?

Posté par
lionel52re : Diagonalisation 01-03-17 à 09:49

Sauf que tu l'as mal calculée l'identité remarquable...

Et je ne comprends pas ce que tu fais dans ton "message de 23h25"

Posté par
Marthre : Diagonalisation 01-03-17 à 10:34

Je voulais identifier x1,x2 et x3 en fessant B.V mais j'ai du me tromper.

Posté par
lionel52re : Diagonalisation 01-03-17 à 10:40

C'est quoi B.V?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 01-03-17 à 11:00

V c'est le vecteur propre  j'avais vu sa en cours

Posté par
lionel52re : Diagonalisation 01-03-17 à 11:07

La diagonalisation ca reste une notion avancée sur les matrices, à l'heure actuelle je ne sais pas comment t'aider pour que tu comprennes vu les lacunes...

C'est quoi un vecteur propre?

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 01-03-17 à 11:29

B est une matrice (3,3) donc P_B(\lambda) = \det (B-\lambda.{\red I_3})=\begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 &0 \\ -1& 2-\lambda & -1\\ 0&-1 & 3-\lambda \end{vmatrix}
P_B(\lambda)=(\lambda-4)(\lambda-3)(\lambda-1)

On a trois valeurs propres distinctes pour une matrice (3,3) : la matrice est donc diagonalisable.

On cherche des vecteur propres associés : (les plus simples possibles)

- à 4 : on résoud Bv_4 = 4 v_4 et on trouve v_4 = (1,-1,1)^t

- à 3 : on résoud Bv_3 = 3 v_3 et on trouve v_3 = (1,0,-1)^t

- à 1 : on résoud Bv_1 = v_1 et on trouve v_1 = (1,2,-1)^t

On forme alors notre matrice de passage P = (v_1,v_3,v_4)

Et on obtient que B = P.\begin{pmatrix}1 &0  &0 \\ 0 &3  &0 \\ 0 &0  &4 \end{pmatrix}.P^{-1}

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 01-03-17 à 11:38

C est une matrice (3,3) donc P_C(\lambda) = \det (C-X.I_3)=\begin{vmatrix} 1-X & 2 & -12 \\ -1& -2-X & 6\\ 0&0 & 2-X \end{vmatrix}
P_X(\lambda)=X(X+1)(X-2)

On a trois valeurs propres distinctes pour une matrice (3,3) : la matrice est donc diagonalisable.

On cherche des vecteur propres associés : (les plus simples possibles)

- à 0 : on résout Bv_0 = 0 et on trouve v_0 = (2,-1,0)^t

- à -1 : on résout Bv_{-1} = - v_{-1} et on trouve v_{-1} = (1,-1,0)^t

- à 2 : on résout Bv_2 = 2v_2 et on trouve v_2 = (6,-3,-1)^t

On forme alors notre matrice de passage P = (v_{-1},v_0,v_2)

Et on obtient que C = P.\begin{pmatrix}-1 &0  &0 \\ 0 &0  &0 \\ 0 &0  &2 \end{pmatrix}.P^{-1}

Sauf erreur

Posté par
Marthre : Diagonalisation 01-03-17 à 12:28

Pour la deuxième question j'ai sa:
2.Pour les matrices diagonalisables, les écrire sous la forme PDP-1 avec P une matrice inversible et D une matrice diagonale.

Je m'y prend comment juste quelque pistes

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 01-03-17 à 12:51

Tout est dit :

1/ Tu calcules les valeurs propres.
2/ Tu trouves pour chaque valeur propre un vecteur propre associé.
3/ Tu formes ta matrice de passage.
4/ Tu donnes la tête de la matrice via cette matrice de passage.

Regardes mes deux derniers posts : toute la méthode y est ... je ne peux rien dire de plus

Posté par
Marthre : Diagonalisation 01-03-17 à 18:09

D'accord sa marche

Posté par
Marthre : Diagonalisation 01-03-17 à 19:01

Voila des éléments que je pense essentiel pour faire la dernière question

Dans ce cas, on a aussi :

P-1A=DP-1
P-1AP=D
AP=PD

Toute matrice diagonale est diagonalisable:
En effet: D=Inln-1

Matrice inversible:
A=PDP-1

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 01-03-17 à 22:28

Et quelle est la "dernière question" ?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 01-03-17 à 23:07

Voici la dernière question :

2.Pour les matrices diagonalisables, les écrire sous la forme PDP-1 avec P une matrice inversible et D une matrice diagonale.

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 01-03-17 à 23:12

C'est dans mes deux derniers posts. Tout y est.

B = P.\begin{pmatrix}1 &0  &0 \\ 0 &3  &0 \\ 0 &0  &4 \end{pmatrix}.P^{-1}

C = P.\begin{pmatrix}-1 &0  &0 \\ 0 &0  &0 \\ 0 &0  &2 \end{pmatrix}.P^{-1}

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