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diagonalisation : au secours

Posté par titi91 (invité) 01-11-04 à 18:57

Bonjour à tout le monde,
je rame vraiment beaucoup, voilà je dois dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Si elle est vraie, on en donnera la démonstration. Si elle est fausse, on indiquera pourquoi, en donnant soir une contre-exemple soit la vraie valeur du résultat demandé.

1/ On connaît la somme des valeurs propres d'une matrice AMn() sans avoir à les calculer explicitement.

2/ Toute matrice non nulle et diagonalisable est nécessairement inversible.

3/ AMn()est diagonalisable sur si et seulement si pour toute racine réelle d'ordre m du polynôme caractéristique on a dim Ker(A-Id)=m.

4/ S'il existe une base de E formée de vecteurs qui sont vecteurs propres à la fois de f et de g, alors l'endomorphisme composé f o g est diagonalisable.

5/ Si A et B sont diagonalisables sur uen même base de Kn, alors on a AB=BA.

6/ Si A et B sont trigonalisables sur uen même base de Kn, alors on a AB=BA.

7/ Une matrice AM3() ayant une valeur propre réelle double est trigonalisable sur .

8/Soit la matrice
    -3 -5  3  
A = 3  5 -2
    -1 -1  2
Alors An est semblable à la matrice
2n 0 0
0  1 n
0  0 1
(pour tous n).

9/ Il existe des réels a et b tels que la matrice
2 a b
0 3 1
0 0 3
soit diagonalisable.


Je ne comprends vraiment rien à la diagonalisation et tout aidez moi svp.

Posté par
franz
re : diagonalisation : au secours 01-11-04 à 22:34

1/ oui
si D = P^{-1}.A.P est diagonale
\sum val_{pr}= tr(D) = tr(P^{-1}.A.P) =tr(P.P^{-1}.A) = tr(A)

2/ non
(contre exemple \left(\begin{tabular}{cc}1&0\\0&0\end{tabular}\right))
En revanche, toute matrice dont 0 n'est pas valeur propre est inversible

3/ oui
car f diagonalisable\Longleftrightarrow E=somme directe des sous espaces propres de f

4/ oui
pour la même raison

5/ oui
Il suffit d'écrire les matrices de A et B dans la base des vecteurs propres et ce constater que A.B = B.A

6/ non
par ex: \left(\begin{tabular}{cc}0&1\\0&0\end{tabular}\right).\left(\begin{tabular}{cc}0&0\\1&0\end{tabular}\right)=\left(\begin{tabular}{cc}1&0\\0&0\end{tabular}\right)
et  \left(\begin{tabular}{cc}0&0\\1&0\end{tabular}\right).\left(\begin{tabular}{cc}0&1\\0&0\end{tabular}\right)=\left(\begin{tabular}{cc}0&0\\0&1\end{tabular}\right)

Posté par titi91 (invité)re : diagonalisation : au secours 02-11-04 à 07:27

merci beaucoup franz



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