Bonjour à tout le monde,
je rame vraiment beaucoup, voilà je dois dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Si elle est vraie, on en donnera la démonstration. Si elle est fausse, on indiquera pourquoi, en donnant soir une contre-exemple soit la vraie valeur du résultat demandé.

1/ On connaît la somme des valeurs propres d'une matrice AM_n() sans avoir à les calculer explicitement.

2/ Toute matrice non nulle et diagonalisable est nécessairement inversible.

3/ AM_n()est diagonalisable sur si et seulement si pour toute racine réelle d'ordre m du polynôme caractéristique on a dim Ker(A-Id)=m.

4/ S'il existe une base de E formée de vecteurs qui sont vecteurs propres à la fois de f et de g, alors l'endomorphisme composé f o g est diagonalisable.

5/ Si A et B sont diagonalisables sur uen même base de Kⁿ, alors on a AB=BA.

6/ Si A et B sont trigonalisables sur uen même base de Kⁿ, alors on a AB=BA.

7/ Une matrice AM₃() ayant une valeur propre réelle double est trigonalisable sur .

8/Soit la matrice
    -3 -5  3  
A = 3  5 -2
    -1 -1  2
Alors Aⁿ est semblable à la matrice
2ⁿ 0 0
0  1 n
0  0 1
(pour tous n).

9/ Il existe des réels a et b tels que la matrice
2 a b
0 3 1
0 0 3
soit diagonalisable.


Je ne comprends vraiment rien à la diagonalisation et tout aidez moi svp.