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Niveau maths spé
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Diagonallisation d'une application linéaire

Posté par
Ea1
21-04-18 à 15:04

Bonne journée,

Soit g\inL_{\mathbb{K}(E), on cherche à montrer que f\circg=g\circf implique que g est diagonalisable sachant que f l'est(son polynome caractéristique \chi_f est scindé à racines simples dans \mathbb{K}) dans la même base de vecteurs propres que f (Pas de soucis à ce stade). Il faut par suite prouver que: \exists P\in\mathbb{K}_{n-1}[X] tq: P(f)=g

Soit e_i la base canonique de E:

On a bien: \foralli\in[1,n] P(f)e_i=ge_i

Alors il suffit de choisir P tel que:
\foralli\in[1,n] P(\lambda_i)=\rho_i (\lambda_i valeurs propres de f et g(e_i)=\rho_ie_i)

La question:
Est ce qu'on peut choisir P tq: P=\sum_{i=1}^{n}\rho_iL_i avec L_j=\prod_{i=1}^{n}(X-\lambda_i)/(\lambda_j-\lambda_i) avec
i \neqj

Si oui, quand est ce que le L_j s'annule et comment ça donne le résultat souhaité càd le \rho_j

Un grand MERCI pour votre aide

Posté par
luzak
re : Diagonallisation d'une application linéaire 21-04-18 à 17:08

Bonsoir !
L_j est nul pour tous les \lambda_k,\;k\neq j :un produit est nul dès que l'un des facteurs est nuI.

Il te reste à vérifier que P(f)(x)=g(x) pour chaque vecteur x de la base.



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