Niveau Reprise d'études

Différentielle d'un déterminant

Posté par
Canardo 26-05-25 à 12:39

Lu dans "Théorie des Champs", de Landau et Lifschitz (collection de physique théorique).
Les sommations se font selon la convention d'Einstein : la somme sur tout indice répété (une fois en indice supérieur et une fois en indice inférieur, ici) est sous-entendue et non indiquée par un $\sum_i^n$ .
Par exemple, ici on a le tenseur métrique $g_{ij}$ , dont l'inverse est $g^{ij}$ , vérifiant
$g^{ij}g_{jk}=\delta_k^i$ .
LL dit que les mineurs du déterminant $g\equiv det(g_{ij})$ sont les $g g^{ij}$ , de qui entraîne
$dg=g g^{ik}dg_{ik}=-g g_{ik} dg^{ik}$ .
Pour $g g^{ik}d g_{ik}=-g g_{ik} d g^{ik}$ , c'est d'accord, mais...
En différentiant $g$ , je ne vois pas du tout d'où sort $d g=g g^{ik}d g_{ik}$ . C'est pourtant élémentaire !
Qu'est devenue la différentielle de $g^{ij}$ ?
Le pire, c'est que je le savais... avant 1975 ! Mais j'ai repris à présent bien tard après, je perds la mémoire et à plus de 75 berges, il m'est impossible de me le rappeler. Je suis même suivi médicalement pour ... déclin cognitif, perte de mémoire, TDAH... !!
Merci de me remettre sur le bon chemin, dans ma petite révision !
C.

Posté par re : Différentielle d'un déterminant 26-05-25 à 12:50

J'oubliais : LL n'a-t-il pas fait une confusion entre "mineur" et "cofacteur" ?
En effet, si $(a_{ij})$ est ne matrice, $(c_{ij})$ la matrice des cofacteurs et $(m_{ij})$ la matrice formée des mineurs, on a $det(A)=\sum_{i}a_{ij}c_{ij}=\sum_{j}a_{ij}c_{ij}$
et
$c_{ij}=(-1)^{i+j}m_{ij}$ .