Bonjour

SI l'on pose n=3+p , on a :


Or , 13 divise p²+7p+13 si et seulement s'il divise p²+7p , soit p(p+7)

On peut donc avoir 13 qui divise p ou 13 qui divise p+7
c'est à dire qu'il existe un entier q tel que :
ou (soit )

Donc on obtient en revenant à n par n=3+p :
ou
c'est à dire :
ou


Jord

Salut  flutistikaman & Nightmare !

Quand on voit la question qui vient est de savoir si on ne pourrait pas, par hasard, écrire notre comme afin que sa "forme factorisée" ne comporte plus de terme constant ainsi, on pourra utiliser le fait que est premier
    
On sait que pour ,
    13 divise (ce sera nul modulo ).
Ainsi, on peut alors poser .

Le reste Nightmare l'a fait.

Bonjour à vous,

Tout d'abord je voulais vous remercier pour l'aide si rapide que vous m'avez apportez. J'ai compris intégralement toute la première partie de Nightmare, mais j'ai du mal à comprendre la deuxième de N_comme_Nul.

Je ne comprend pas pourquoi on ne s'occupe que du modulo avec 13 de a²+a+1 et pas du reste de l'expression. Pourquoi avons-nous prix a = 3 et pourquoi le fait que 13 soit premier et si important.

Je sais que ces questions peuvent avoir l'air bêtes mais perso, je ne suis pas une bête en maths.

Bonne journée...

Flutistikaman

Flutistikaman : mon post n'était qu'une petite intervention pour tenter de comprendre l'indication donnée dans le livre.

Le fait que est premier est une donnée intéressante dans ton exercice: Nightmare a utilisé la propriété selon laquelle si un nombre premier divise un produit d'entiers alors il divise forcément l'un de ces entiers.

Quand on est tout au début de l'exercice, on se rend compte que l'on a une forme pas très sympathique . D'où l'idée de se demander si en changeant un peu la forme de on ne pourrait pas transformer cette expression en une expression un peu plus maniable;
c'est ce que j'ai tenté de faire dans mon précédent post.

Mais si tu es en 2de comme tu le prétends alors la propriété utilisée par Nightmare ne doit pas t'être familière.

Au fait, dans la démonstration de Nightmare, "le" trouvé n'est pas forcément le même. Sans doute aurait-il été préférable de mettre :
     ou

Je trouve bizarre tout de même de donner cet exercice en 2nd car il me semble que le théorème de Gauss n'est vu qu'en TS non ?


Jord

Ben j'en sais rien moi, mais on le montre comment ? avec une relation de Bezout donc pas au programme de seconde, si ?

premier divise le produit
supposons qu'il ne divise pas
alors et sont premiers entre eux
donc d'après Bezout :
il existe deux entiers et tels que :
    
donc :
    
comme divise et alors il divise aussi et donc la somme c'est à dire
non ?

Oui , on le démontre avec Bezout.

Mais ça m'étonnerait qu'en 2nd on demande à un éléve un théorème qu'il devra démontrer s'il doit l'utiliser


Jord

bonjour tout le monde,
oui en effet Nightmare, le théorème de Gauss est vu en Tle S spécilité (mais bon, on y travaille déjà avant sans le nommer)
pour ce qui est de la relation de Bezout, là c'est clairement vu en Tle S spécialité
par contre, je n'ai pas lu le problème , donc je ne peut pas dire ce qu'on utilise

Là tu démontres un corrolaire du théorème de Gauss (celui qui nous interresse pour l'exercice).


Jord

Merci pour la confirmation muriel

de rien

Bonjour N_comme_Nul

Quand tu écris :

D'où l'idée de se demander si en changeant un peu la forme de n on ne pourrait pas transformer cette expression en une expression un peu plus maniable;

Heureusement que l'énoncé nous dit Sachant que, si x = 3, alors x² + x + 1 = 13, car si l'énoncé avait été :


déterminer les valeurs n telles que 19 divise n² + n - 1  (F)


comment aurais-tu déterminé ton a de n=p+a ?

Merci pour les solutions de (F).

Philoux

Re tout le monde

Philoux> si c'est n²+n-1 comme tu l'as écrit on peut prendre a=4


Jord

Bonjour NM

Je les veux TOUTES

sous la forme n = alpha.q + béta

Philoux

Oui non , ce n'est pas ça que je disais , ici je te disais que pour faciliter le travaille on pouvait poser n=p+4 .
Ensuite 19 est premier donc ça marche pareil que pour l'autre avec le théorème de Gauss


Jord

Ok NM

DOnc, si je vous ai compris, suffit donc de trouver un entier a tel que f(a)=0 ?

Philoux

Non , un entier a tel que f(a)= le nombre qui divise f(n)

Avant on avait bien f(3)=13 , ensuite on avait bien f(4)=19

Mais ça ce complique lorsqu'on ne peut pas trouver ce nombre.
Par exemple si on veut déterminer les valeurs de n telles que 19 divise n²+n+1 c'est plus compliqué


Jord

oui, bien vu lapsus

Comment fait-on alors ?

Philoux

Je pense qu'on peut montrer par l'absurde qu'il n'existe pas d'entier n tel que 19|(n²+n+1)

Il suffit de montrer que l'équation n²+n+1=19k pour k entier n'admet aucune solution entiére


Jord

oui mais comment ?

Philoux

L'équation équivaut à :


Le discriminant est :


Il suffit de montrer que quelque soit k , n'est pas un carré parfait.

Je te laisse y réfléchir (j'y réfléchis aussi )


Jord

Bon bah en fait il y a des solutions lol.

Donc finalement il faut chercher les valeurs de k telles que :
soit entier

Allons y ...


Jord

Faux k=3 et k=7 donnent un carré parfait

Philoux

idem

(-1+5 ou 7)/2 donnent 2 et 3

Philoux

Donc en fait il faut que :
soit entier et impair (on y arrive ... _{je suis sur que je me complique la vie} )


Jord

Je crois en fait que je tourne en rond

Bon, je vais le faire

Je recommence pas tout le barratin :
    

Pour , on a

On pose alors .

Allons-y :
    

     ssi
donc
    

Or est premier donc :
     ou

C'est-à-dire il existe des entiers et tels que :
     et
en revenant à :
     ou

Reste à vérifier que les nombres qui s'écrivent sous cette forme sont bien solution :
    
    

    
    

Les solutions sont donc :
    
    

Oui N_comme_Nul ça c'est simple , mais si c'est n²+n+1 ?


Jord

Je répondais au post de philoux du [12/07/2005 à 12:05]

Merci N_N

Philoux

effectivement, l'autre semble moins simple

Nightmare : pour , ne suffirait-il pas de prendre ?

Pourquoi j'y ai pas pensé plus tot

Changeons un peu les choses : (je pense avoir la réponse)
Quel est l'ensemble des entiers tels que :
     divise ?

> Night

oui impardonable

Effectivement ici c'est plus difficile comme 18 n'est pas premier ...

Je dirais qu'il n'y a rien à faire et que c'est encore plus facile

Je pense que j'ai trouvé ^^

Il suffit de jouer avec la parité.


Jord

Un tel n est forcément pair ()
Mais est toujours impair ...

Comme quoi rien ne vaut les conjectures

Quand on peut se donner un peu de temps ... c'est bien de triturer l'énoncé d'un exercice
Comme là , ça fait une belle petite palette complémentaire pour  flutistikaman.

J'espere qu'il a pu tout comprendre