Bonjour,

J'éprouve des difficultés en tentant de résoudre cet exercice.

EXERCICE 2 5 points (Bac Antilles-Guyane 2004)
Dans le plan orienté muni d?un repère orthonormal direct, on considère ABC un triangle direct sur lequel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA', ACB' et ABC'.
On considère respectivement les points P, Q et R centres de gravité respectifs des triangles BCA', ACB' et ABC'.
On note a, b, c, a', b', c', p, q et r les affixes respectives des points A, B, C, A', B',C', P, Q et R.
1. a. Traduire, avec les affixes des points concernés, que C'
est l'image de A dans une rotation d'angle de mesure dont on précisera le centre.
b. Montrer que a' +b' +c' = a +b +c.
2. En déduire que p + q +r = a +b +c.
3. En déduire que les triangles ABC, A'B'C' et PQR ont même centre de gravité.
4. Montrer que :
3(q ? p) = (b? ?c) + (c ? a') + (a ?b).
On admettra que, de même : 3(r ? p) = (a ?c) + (b-a') + (c' - b)
5. Justifier les égalités suivantes :
a ?c = exp((pi/3)* i) (b' - c)
b - a'= exp((pi/3)* i) (c - a')
c' - b = exp((pi/3)* i) (a - b)

6. Déduire des questions 4. et 5. que le triangle PQR est équilatéral.


Voilà la correction du début de l'exercice trouvée sur la site de l'APMEP mais j'éprouve des difficultés à la comprendre :
EXERCICE 2 5 points

1. a. ABC'
est un triangle équilatéral. [BC'] est l'image de [BC] dans la rotation de centre B et d'angle /3 s'écrit en notation complexe : c? ?b = exp(i * pi /3) (a ?b).

b. On obtient de même avec les deux autres triangles équilatéraux :
b? ? a = exp(i pi / 3)(c ? a)
et a? ?c = exp(i pi / 3) (b ?c).
En ajoutant membre à membre les trois égalités précédentes :
c' - b + b'- a + a'- c = exp(i pi / 3) (a - b + c - a + b - c) equivalent à (a'+b'+c') - (a+b+c) = exp (i pi/ 3) * 0 equivalent à a' +b' + c' - (a+b+c) = 0 equivalent à a' + b' + c' = a + b + c


Alors déjà je ne comprends pas comment le segment BC' peut etre l'image du segment BC alors qu'il ne font même pas la même taille
En plus on voit sur la figure que ça ne fait même pas pi/3, c'est un angle obtus.



Personnellement j'avais commencé comme ça :

a. R et le centre de gravité AC'B
Ainsi R et le centre du cercle qui passe par A, C' et B.
On a donc que C' est l'image de  A par la rotation de l'angle (RA; RC') et de centre R
3 (RA; RC') = 2 pi
(RA; RC') = 2 pi / 3
On a
c'- r = (a - r) * exp(2pi/3)

b.
De même
c'- r = (a - r) * exp(2pi/3)
b' - q = (c - q) * exp(2pi/3)
a'- p = (b - p) * exp(2pi/3)

Mais contrairement à la correction les affixes ne s'annulent pas.
On a :
c' - r + b' - q + a' - p = (a - r + c -  + b - p) * exp(2pi/3)

Donc j'ai fait une erreur quelque part et j'aimerais que vous me dites ou s'il vous plaît.

Merci beaucoup pour votre réponse !

_{* Modération > Énoncé  amélioré *}