Bonjour,

Je me pose une question sur le 3). Pourriez-vous y répondre s'il vous plaît?

Soient E = R 3 , B0 = (ε1, ε2, ε3) la base canonique de E et B∗ 0 = (ε ∗ 1 , ε∗ 2 , ε∗ 3 ) sa base duale. On considère la forme quadratique sur E définie par q(x, y, z) = x ²− 2y²− 2z ²+ 2xy + 4yz − 2xz.
1. Déterminer la matrice de q dans la base B0. Donner l'expression de f la forme bilinéaire associée à q.


f((x,y,z),(x',y',z'))=xx'+xy'-xz'+yx'-2yy'+2yz'-zx'+2zy'-2zz'

Déterminant nul donc je peux déjà dire que q est dégénérée.

2. Déterminer F ^⊥ le sous-espace q-orthogonal à F où F est le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par v = (1, 1, 1) et w = (1, 0, 0).
On cherche les t de R3 tel que t soit orthogonal à v et à w on trouve donc que la condition pour t est que x+y-z=0


3)Calculer les dimensions de F et de F ^⊥. Que peut-on dire sur la dégénérescence de q ?

Mon problème est le suivant v et w sont libres donc dim de F est 2, mais F^⊥
a une base selon moi égale à vect( (1,0,1), (1,-1,0)) donc j'aurais dis dim F ^⊥=2 et ma prof m'a dis que c'était égal à 2 très rapidement. Cependant, je n'avais pas fait exprès de m'arrêter à 2 vecteurs dans la base F ^⊥ , je voulais même en ajouter. Comment peut-on faire pour s'apercevoir rapidement de cette dimension?

(Si q était non dégénérée on aurait pu utiliser le théorème avec le rg(q)...)

Merci par avance.