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Distance d'un point à l'ensemble Z

Posté par
Manga2 25-07-13 à 12:53

Salut,
Cet exercice comporte 8 questions (la dernière 2 sous-questions). J'ai pu répondre à toutes sauf la 7ème et 8-b. Pouvez-vous m'aider?
Je posterai aussi mes réponses des autres questions pour que vous me signalez mes erreurs et me proposer d'autres méthodes.
L'exercice:

Nous symbolisons par d(x) à la distance de x à qui est la plus petite distance entre x et un élément p de .
d(x)=min|x-p| (p)

1)Montrez que x     0d(x)\frac{1}{2}
2)Montrez que x     d(-x)=d(x)
3)Montrez que le nombre 1 est une période de la fonction d.
4)Conclure que x k     d(x+k)=d(x)
5)Montre que:
        {x      ;  x[0,\frac{1}{2}]
d(x)={
        {1-x    ;  x]\frac{1}{2};1]
6)Etudiez la continuité de d sur .
7)Soit x. Montrez que l'ensemble {d(nx)/n\mathbb{N}^{*}} est fini si et seulement si x.
8)Soit x\. On pose =d(x)
a)Montrez que 0<<\frac{1}{2}
b)Montrez que n\mathbb{N}^{*}     d(nx)=d(n)

Mes réponses:

1)Puisque d(x) est une distance et la distance est une valeur positive alrs x   d(x)0
On a aussi: x   x-\frac{1}{2}<x<x+\frac{1}{2}
On pose I=[x-\frac{1}{2};x+\frac{1}{2}].
Puisque cet intervalle a une longueur de 1 alrs !y,yI ou y=x-\frac{1}{2} et y+1=x+\frac{1}{2}. Cet y est sans doute le nombre entier le plus proche de x.
Si y=x-\frac{1}{2} alrs pour x=\frac{2y+1}{2} on a d(x)=\frac{1}{2}
Sinon alrs yI et donc:
* y]x-\frac{1}{2};x] et donc d(x)<\frac{1}{2}
* y[x;x+\frac{1}{2}[ et donc d(x)<\frac{1}{2}

On conclu donc que x   0d(x)\frac{1}{2}

2)On a x,-x
On considère l'intervalle J=]-x-\frac{1}{2};-x+\frac{1}{2}[
Puisque -x-\frac{1}{2}=-(x+\frac{1}{2}) et -x+\frac{1}{2}=-(x-\frac{1}{2}). Donc xI,-xJ et donc si y est l'entier le plus proche de x alrs -y est le plus proche nombre entier de -x
donc d(-x)=min|-x-p|
               =|-x-(-y)|
               =|-x+y|
               =|x-y|
               =min|x-p|
               =d(x)
Donc x   d(-x)=d(x)

3)On a x, x-1 et x+1
On considère I'=]x+\frac{1}{2};x+\frac{3}{2}[.
On a xI,x+1I' et donc si y est le plus proche entier de x alrs y+1 est le plus proche entier de x+1
d(x+1)=min|x+1-p|
         =|x+1-(y+1)|
         =|x-y|
         =min|x-p|
         =d(x)
Donc d est périodique de période 1.

4)Si k:
On sait que: "Si une fonction f est périodique de période t alors pour tout x appartenant à l'ensemble de définition de f et pour tout entier naturel k : f( x + kt ) = f( x )"
Pour t=1 on a d(x+k)=d(x)
Si k\mathbb{Z}^{-}:
Puisque d est périodique de période 1 alrs d(x-1)=d(x)
k\mathbb{Z}^{-} donc -k
En utilisant la propriété précédente: d(x)=d(x+(-1)(-k))=d(x+k)
Donc x k   d(x+k)=d(x)

5)Puisque d est périodique de période 1 alrs d()=d([0;1])
Si x[0;\frac{1}{2}] puisque 0 est le seul entier dans cet intervalle alrs d(x)=|x-O|
Donc d(x)=x
Si x]\frac{1}{2};1] puisque 1 est le seul entier dans cet intervalle alrs d(x)=|x-1|
Donc d(x)=1-x
On conclue donc que :
        {x      ;  x[0,\frac{1}{2}]
d(x)={
        {1-x    ;  x]\frac{1}{2};1]

6)On a xx est une fonction continue en donc continue en [0;\frac{1}{2}]
De même: x1-x est continue en donc continue ]\frac{1}{2};1]
Reste à savoir si d est continue à gauche de 0, à droite de \frac{1}{2} et à droite de 1.
En 0: on a d(0)=0
\lim_{x\to 0^{-}} d(x)=\lim_{x\to 1^{-}} d(x) (puisque d est de période 1)
                 =\lim_{x\to 1} 1-x
                 =0
Donc d est continue en 0.
En 1: on a d(1)=0
\lim_{x\to 1^{+}} d(x)=\lim_{x\to 0^{+}} d(x) (puisque d est de période 1)
                 =\lim_{x\to 0} x
                 =0
Donc d est continue en 1.
En \frac{1}{2}: On a d(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}

\lim_{x\to 0,5^{+}} d(x)=\lim_{x\to 0,5} 1-x
                    =\frac{1}{2}
Donc d est continue en \frac{1}{2}.
On conclue donc que d est continue en .

7) Là je bloque complètement.

8)x\ et =d(x)
a) Selon la première question on a donc 0\frac{1}{2}
Si =0 alrs x ce qui est absurde donc 0
Si =\frac{1}{2} alrs comme démontré dans la première question: !y, x=\frac{2y+1}{2}
Puisque (2y+1)2=1 alrs x ce qui est absurde donc \frac{1}{2}.
On conclue donc que 0<<\frac{1}{2}.
b)Là aussi je bloque.

Merci de m'aider!

Posté par
WilliamM007re : Distance d'un point à l'ensemble Z 25-07-13 à 13:51

Bonjour.

Pour la 7, on raisonne par double implication.
Si x, alors on peut écrire x=p/q
Donc qx=p, donc d(qx)=0, puis d((q+1)x)=d(x), et finalement l'ensemble des d(nx) est bien fermé car les valeurs se répètent.

Réciproquement, on peut faire un raisonnement par contraposée, c'est-à-dire montrer que si x, alors l'ensemble des d(nx) ne peut être fermé.
Prenons donc x. Supposons par l'absurde que l'ensemble des d(nx) est fermé.
Il existe donc deux valeurs n et m, différentes, telles que : d(nx)=d(mx) (si ce n'était pas le cas, l'ensemble ne serait pas fermé).
On peut montrer que d(x)=d(y) si et seulement si x=y+k (k) ou si x=-y+k (k)
Par conséquent, si d(nx)=d(mx), alors :
nx=mx+k ou nx=-mx+k
x=k/(n-m) ou x=k/(n+m), dans les deux cas nous avons x, ce qui est impossible par hypothèse.

On en conclut : {d(nx),n} fermé x

Posté par
spikere : Distance d'un point à l'ensemble Z 25-07-13 à 14:14

Bonjour,

Pour la 8b,

Soit x\, alors il existe k_x tel que x=k_x+\alpha

Alors d(nx)=d(n(k_x+\alpha))=d(n\alpha)

Par contre, j'ai l'impression de passer à côté de quelque chose car cette relation est vraie pour tout x ( plus généralement d(nx)=d(nd(x)) ) :s

Posté par
WilliamM007re : Distance d'un point à l'ensemble Z 25-07-13 à 14:31

Pourquoi penses-tu passer à côté de quelque chose spike ?

et \ étant denses dans , la continuité de d permet de généraliser à si l'on montre la propriété pour un des deux ensembles seulement.

Posté par
spikere : Distance d'un point à l'ensemble Z 25-07-13 à 14:38

Bah je trouvais ça bizarre de mettre cette question à la toute fin... Je la voyais bien entre la 6 et la 7, à montrer pour tout x dans R.

Posté par
Slightre : Distance d'un point à l'ensemble Z 25-07-13 à 14:53

Bonjour,

Tout d'abord, la question 1 :
Ta justification de la positivité est vraie, mais je ne suis pas sûr qu'en terminale elle soit acceptée ... auquel cas je te suggère de dire plus simplement qu'il s'agit du minimum d'une valeur absolue donc positif
Ensuite, je pense que tu t'ennuie beaucoup trop pour montrer que c'est inférieur à 1/2 ... dis juste que tu prends E(x) (partie entière) et E(x)+1 comme bornes de ton intervalle, qui sont respectivement les entiers les plus proches de x. Comme l'intervalle est de longueur 1, ça devient évident

Pour la question 2, j'aurais utilisé la même chose, sans vraiment détailler le calcul ... Mais je pense qu'avec mon intervalle, c'est plus facile à rédiger, et surtout plus instinctif, mais libre à toi de choisir ce que tu préfères

Pour la question 3, pareil ^^

Si je puis me permettre une remarque, tu rédiges beaucoup trop ce qui est évident ... Si c'est de période 1, en appliquant k fois, c'est de période k. Je pense qu'en allégeant ta rédaction tu gagnerais en efficacité et en clarté.

Pour les question 5 et 6, c'est bien.

Pour la question 7 tant attendue :

Je ne te donne que l'idée, je te laisserai rédiger :
Pour montrer l'équivalence, il faut montrer les deux implications. Commençons par la plus facile :
Soit x élément de Q. On écrit x = p/q avec p entier relatif et q entier naturel différent de 0
Pour n = q, nx est un entier donc la distance à Z est nulle.
Après, (n+1)x = nx + x, avec nx un entier. Comme d est périodique de période 1, c'est bon.
Pour l'autre implication, je n'ai rien trouvé de plus simple que ça, donc n'hésite pas à redemander à quelqu'un qui a trouvé mieux :
Si E est fini, alors E = {y1 ... y(n-1)}
Pour q >= n, yq = yp où p<= (n-1)
soit qx = 1- px +k, k élément de Z, ou
     qx = px +k , k élément de Z
Après tu trouves x et tu vois que c'est un quotient d'entier

Pour la 8b, on retranche la partie entière à x par périodicité. On note y = x-E(x)
On a alors :
n(alpha)=ny ou n(1-y) par la question 5
en appliquant la fonction d et en utilisant la parité et la périodicité, ça marche

Et voilà

Posté par
WilliamM007re : Distance d'un point à l'ensemble Z 25-07-13 à 15:11

Coucou Slight. Lire les réponses des autres avant de poster pourraient t'économiser un certain temps

Posté par
watikre : Distance d'un point à l'ensemble Z 25-07-13 à 16:57

bonjour

une bonne explicitation de d(x) rendra l'exercice très simple.

soit x un réel alors : E(x) <= x < E(x)+1
les entier les plus proche de x sont donc E(x) et E(x)+1
deux cas:
si x<=E(x)+(1/2)   d(x)=x-E(x)  car E(x)<=x
si x>=E(x)+(1/2)   d(x)=E(x)+1-x

avec ça l'exo devient simple.  

Posté par
plumemeteorere : Distance d'un point à l'ensemble Z 25-07-13 à 19:12

Bonjour.
7) Supposons que l'ensemble soit fini.
Alors, une distance se présentera deux fois.
Si elle se présente deux fois par excès ou deux fois par défaut, alors, il existe deux nombres naturels a et b tel que ax-bx est entier. Soit e cet entier. Alors x = e/(a-b) qui est un nombre rationnel.
Si elle se présente une fois par excès ou une fois par défaut, avec ax et bx par exemple, on constate que ax+bx est un entier et donc que x est rationnel.
Réciproquement si x est un nombre rationnel p/q, pour tout nombre naturel a compris entre 0 et q-1 et tout nombre naturel k : (a+kq)*p/q - a*p/q = akp-ap qui est un entier et donc d((a+kq)*p/q = d(a*p/q). Il y au plus q-1 distances différentes.

Posté par
Slightre : Distance d'un point à l'ensemble Z 25-07-13 à 19:29

Coucou WilliamM007
C'est juste que j'avais ouvert la page longtemps avant, du coup, j'avais pas vu qu'il y avait d'autre réponses ^^"
Cependant, il n'y a rien sur les questions qu'il avait déjà faite, du coup, je pense que ce n'est pas superflu :p

Posté par
Manga2re : Distance d'un point à l'ensemble Z 25-07-13 à 21:02

Merci tout le monde pour vos réponses!
*WilliamM007: J'ai compris merci.
*spike: J'ai compris merci. Au sujet de l'ordre des questions, on n'y peut rien^^.
*Slight: Ca arrive ce genre de trucs. Et puis la façon dont tu as démontré la deuxième implication de 7 est différente. Voilà ce qui enrichis le topic.

Citation :
je ne suis pas sûr qu'en terminale elle soit acceptée ... auquel cas je te suggère de dire plus simplement qu'il s'agit du minimum d'une valeur absolue donc positif
Effectivement ta justification proposée est bien plus simple. Je suis un élève de 1ère et je viens de finir la leçon de continuité. Si tu dis ça ça veut dire qu'il y a des distances négatives ou quoi?
Citation :
Mais je pense qu'avec mon intervalle, c'est plus facile à rédiger, et surtout plus instinctif, mais libre à toi de choisir ce que tu préfères
Si j'avais le choix, je choisirai le tiens ^^
Citation :
Si je puis me permettre une remarque, tu rédiges beaucoup trop ce qui est évident ...
J'essayerai de ne plus le répéter.
Merci à toi!
*watik: Effectivement ça rends l'exercice plus facile. Merci!
*plumemeteore: Désolé dès le début je n'ai pas compris. C quoi par excès et par défaut?D'où tu tires donc que ax-bx ou ax+bx est entier? Si c quelque chose du terminal comme je l'ai dit dsl je ne le suis pas (j'ai posté sur forum terminal car continuité, la seule leçon que j'ai apprise pour le moment (demain j'entame les suites), est du terminal). Mais GRAND merci à toi quand même

Posté par
plumemeteorere : Distance d'un point à l'ensemble Z 28-07-13 à 08:24

Bonjour Manga.
Si le nombre de distances différentes est fini, on retrouvera forcément deux fois la même distance par rapport à l'entier le plus proche.
Supposons donc qu'on retrouve la même distance pour ax et bx. Soit e cette distance commune.
m et n étant parmi les nombres entiers :
ax peut alors s'écrire m+e (la distance est par excès car ax est supérieur à l'entier le plus proche m) ou m-e (la distance est par défaut car ax est inférieur à l'entir le plus proche m).
De même bx peut s'écrire n-e ou n-e.
Premier cas : ax = m+e et bx = n+e
ax-bx = (m+e)-(n+e)
x(a-b) = m-n
x = (a-b)/(m-n) : x est un quotient de deux nombres entiers, donc un nombre rationnel.
Deuxième cas : ax = m-e et bx = n-e
ax-bx = (m-e)-(n-e)
x(a-b) = m-n
On retrouve l'égalité du premier cas.
Troisième cas : ax = m+e et bx = n-e
ax+bx = (m+e)+(n-e)
x(a+b)= m+n
x = (a+b)/(m+n) : x est un quotient de deux nombres entiers, donc un nombre rationnel.
Quatrième cas : ax = m-e et bx = n+e
ax+bx = (m-e)+(n+e)
x(a+b) = m+n
On retrouve l'égalité du troisième cas.

Réciproque
Soit x égal au nombre rationnel p/q (p étant entier et q étant naturel).
Soit a un nombre naturel entre 1 et q.
Tous les nombres naturels g égaux à a modulo q sont tels que d(g*p/q) = d(a*p/q).
En effet :
g peut s'écrire kq+a, q étant un nombre naturel.
g*p/q = (kq+a)*p/q
(kq+a)*p/q - a*p/q = (kq+a-a)*p/q = kq*p/q = k*p = entier
Soit m et n les plus grands nombres entiers inférieurs ou égaux à gp/q et ap/q
ap/q = m+e et gp/q = n+f
ap/q - gp/q est entier, donc (n+f)-(m+e) = n-m + f-e; comme n-m est entier, f-e est entier; or f et e appartiennent à [0;1[ : f et e sont donc égaux.
Si e et f <= 0,5 ils sont respectivement égaux à d(ap/q) et à d(gp/q) qui sont eux-mêmes égaux entre eux.
Si e et f > 0,5 ap/q = m+1-(1-e) et gp/q = n+1-(1-f); d(ap/q) et d(gp/q) sont respectivement égaux aux nombres égaux (1-e) et (1-f).
Conclusion : le nombre de distances différentes est au plus égal à q.



              

Posté par
Manga2re : Distance d'un point à l'ensemble Z 29-07-13 à 14:25

J'ai bien compris merci beaucoup plumemeteore!

Posté par
Slightre : Distance d'un point à l'ensemble Z 12-08-13 à 22:37

Désolé pour ma réponse un peu tardive, plus d'une semaine ça commence à faire beaucoup, mais vacances sans internet oblige ^^
Pour répondre à ta question sur les distances:
Non, mais les vraies définitions pour distances, normes etc... sont bien plus compliquées que le niveau première ou terminale ... On appelle ça de la topologie. Les enseignants que tu auras auront eux aussi du mal à t'en parler parce qu'il s'agit du niveau bac +5 voire agrég, ou maths spé si tu veux en apercevoir une ébauche.
C'est juste qu'il suffit que tu tombes sur un prof un peu chiant (c-a-d quasiment tous ... -_-) pour qu'il te demande ma justification plutôt que la tienne, de peur d'avoir oublié qqch de leurs cours de CAPES ^^

Posté par
Manga2re : Distance d'un point à l'ensemble Z 12-08-13 à 23:48

D'accord merci beaucoup!


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