Comme tu n'as donné que les réponses sans la manière d'y arriver, tu m'obliges à tout refaire pour vérifier.

a)

Distance d'un point à un plan:

Etant donné le plan Ax + By +Cz + D = 0 et le point P(x0, y0, z0), la distance de P au plan est exprimée par :

d = |(Ax0 + By0 + Cz0 + D)/racinecarrée(A² + B² + C²)|
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Pour le plan P: A=1, B = -1, C = 1 et D=-1
A(2;1;3) --> xo=2, yo=1 et zo=3

d1 = |(2 - 1 + 3 - 1)/V(1² + (-1)² + 1²)|
d1 = 3/V3
d1 = 1/V3

Pour le plan Q: A=1, B = 1, C = 1 et D=-3
d2 = |(2 + 1 + 3 - 3)/V(1² + 1² + 1²)|
d2 = 3/V3
d2 = 1/V3

d1 = d2 = 1/V3
On a donc bien le point A(2;1;3) à égale distance des plans P et Q.
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b)
Pour le plan P: A=1, B = -1, C = 1 et D=-1
Soit un point S(X,Y,Z) et d la distance entre le point S et le plan P, on a:
d1 = |(X - Y + Z - 1)/V3|

Pour le plan Q: A=1, B = 1, C = 1 et D=-3
d2 = |(X + Y + Z - 3)/V3|

Si on veut d1 = d2, on a:
|(X - Y + Z - 1)/V3| = |(X + Y + Z - 3)/V3|

soit:
|X - Y + Z - 1| = |X + Y + Z - 3|

Il y a donc 2 cas possibles:

1°)
X - Y + Z - 1 = X + Y + Z - 3

2Y = 2

Y - 1 = 0 (équation d'un premier plan)

2°)
X - Y + Z - 1 = -(X + Y + Z - 3)

X - Y + Z - 1 = -X - Y - Z + 3
2X  + 2Z - 4 = 0
X + Z - 2 = 0. (équation d'un second plan)
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L'ensemble des points à égale distance des plans P et Q est la réunion de deux plans qui ont pour équation:

y-1 = 0 (pour un plan)
x + z - 2 = 0 (pour l'autre plan)

vecteur normal au premier plan: (0 ; 1 ; 0)
vecteur normal au second plan: (1 ; 0 ; 1)

Le produit scalaire de ces 2 vecteurs est = 0 et donc ces 2 plans sont perpendiculaires.
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Donc ce que tu as fait semble bien, tu as juste une petite erreur dans l'équation d'un des plans:

A partir de : x-y+z-1= -(x+y+z-3)

Tu dois arriver à: x + z - 2 = 0 et pas à ce que tu as écrit.

Pour la perpendicularité, voir la fin de ma résolution.
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Sauf distraction.  

ATTENTION, dans le début de ma réponse précédente:

Lire:
d1 = 3/V3
d1 = V3

(pareil pour d2)

Ok super donc pour prouver que les plans sont perpendiculaires, il suffit d'utiliser deux vecteurs normaux (pratiques quand même les vecteurs normaux, belle invention ).
Désolé si je t'ai obligé à tout réécrire, j'ai parfois le sentiment que c'est inné pour vous . Je ferai attention pour une prochaine fois.