Il me semble que tu pourrais faire tout le calcul dans le plan médiateur du l'arête BC de la pyramide.

Bonjour,

Tu peux d' abord calculer la hauteur de la pyramide.

Et ensuite écrire que le volume de la pyramide vaut 4 fois celui de la pyramide

Si tu veux mais note que

Donc   (demi diagonale d' un carré de côté )

On peut aussi écrire directement:

  

d' où

La proposition de Priam va très bien aussi...

***citation inutile supprimée***

Ah oui, autant pour moi, je n'avais pas fait le lien entre le fait que le carré était de côté a et que la pyramide était régulière donc aux faces étant des triangles équilatérales.
Je ne doute pas une seconde que la proposition de Priam n'était pas bonne mais je n'ai pas réellement compris, d'où le choix de me tourner vers votre piste.
Quoi qu'il en soit, nous venons de calculer OS mais comment dois-je utiliser cette information pour calculer la distance entre O et le plan (SBC) ?

Le volume d' une pyramide de hauteur et de base d' aire :



Ici,

Mais ce volume vaut 4 fois celui de la pyramide

et le volume de cette pyramide est

où est la distance cherchée de au plan

Reste à trouver l' aire du triangle équilatéral de côté

***citation inutile supprimée***

On ne connait pas la hauteur du triangle équilatéral SBC.
On peut donc le diviser en deux triangles rectangles de base a/2 et d'hypotenuse a.
Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on peut calculer la hauteur h.
a²= h² + (a/2)²
h²= a² - (a/2)²
h = sqrt(3)/2 * a

On connait à présent la hauteur du triangle équilatéral SBC, on peut donc calculer son aire, que l'on nomme A_SBC.
A_SBC = (base * hauteur)/2 = (a*(sqrt(3)*a/2))/2 = sqrt(3)/4 * a²

Oui; continue...

On obtient alors l'égalité suivante :


C'est bon pour l'instant ?

Oui, c' est bon et tu t' es donné beau coup de mal pour écrire tout ça en  ; ça fait plaisir à voir

Mais il ne faut pas hésiter à simplifier;  je reprends du début:





Du coup,

Je ne sais pas où tu en es dans ton cours; il est possible que tu ais vu la formule donnant la distance d' un point à un plan défini par une équation cartésienne si ton cours porte en ce moment sur la géométrie dans l' espace.

Auquel cas, je t' engage à refaire cet exercice en choisissant un repère judicieux dans lequel tu pourras déterminer facilement une équation cartésienne du plan et appliquer la formule pour la distance de à ce plan.

Tu fais ce que tu veux, mais un repère orthonormé d'  origine dont les axes sont dirigés par est une option convenable...

Ah oui en effet, c'est beaucoup plus rapide vu comme ça.
Hum, à vrai dire, nous n'avons pas vu cela encore, c'est pouquoi le professeur avait rajouté dans l'exercice la définition suivante :
La distance d'un point à un plan est la distance entre le point considéré et son projeté orthogonal sur le plan.

Bon, alors on en reste là (en admettant que tu connaisses la formule donnant le volume d' une pyramide); tu as du la voir au collège ...

Mais je te le redis, la proposition de Priam est intéressante:

Tu coupes la pyramide par le plan passant par les milieux de , et son sommet . C' est un plan de symétrie de la pyramide. Tu fais un dessin et tu regardes...

Je dois quitter.
Bonne soirée