Bonjour j'ai un dm à faire sur la distance d'un point à une droite, j'ai fais tout le dm sauf une question (application numérique), j'y suis depuis ce matin 10h donc ça serait sympa de m'aider parce que là j'ai tout essayé ^^
Démontrer que le point A(1;1) est le centre du cercle inscrit dans le triangle XOY, où X(2+2;0) et Y(0;2+
2)
( il faut s'aider de la formule (1): AH=d=|axA+byA+c|/(a²+b²) où A(xA;yA) un point quelconque du plan, D:ax+by+c=0, H le projeté orthogonal de A sur D,
(a;b) vecteur normal à D)
Mon idée a été la suivante:
Etablir l'équation de la droite (YX).
J'ai trouver (YX): (-2-2)x + (-2-
2)y -6-4
2 = 0
donc (YX) admet comme vecteur normal (-2-
2;-2-
2)
Soit I milieu de [YX] donc I(1+(2/2);1+(
2/2))
Puisque le triangle OXY est rectangle en O alors la bissectrice issue de O coupe [XY] en I. (OI) perpendiculaire à (XY)
Le point A se situe sur [OI].
En utilisant la formule (1), j'ai trouvé OI=(3+2
2)
On note M(xM;yM) le centre du cercle inscrit.
Et là je n'arrive pas à exprimer MI en fonction de OI.
Car on a : MI=|axM+byM+c|/(a²+b²)
On connait l'équation de (XY) et un vecteur normal à (XY), donc j'obtiens : |axM+byM+c|=MI(12+8
2)
Après avoir exprimé MI en fonction de OI, on trouve |axM+byM+c|=Constante
Donc pour vérifier que A(1;1) est bien le centre du cercle inscrit, on remplace (xM;yM) par (xA;yA) et si on trouve la Constante c'est bon.
Voilà est-ce que quelqu'un peut m'aider ??
Bonjour,
je ne suis pas d'accord avec ton équation de (XY), je trouve x + y - 2 - rac(2) = 0.
A partir de là, tu dois calculer la distance de A à cette droite et montrer qu'on trouve 1, puisque la distance de A aux deux autres côtés du triangle vaut 1.
Un théorème de 4ème te dit que le centre du cercle inscrit est l'unique point équidistant des 3 côtés du triangle, donc tu prouveras bien que A est le centre du cercle inscrit de cette façon.
Comment trouves-tu (XY): x + y - 2 - rac(2) = 0 ?
Pour trouver l'équation (XY) j'ai utilisé le vecteur directeur YX de coordonnées (2+rac(2);-2-rac(2)).
Donc (XY): (-2-rac(2))x + (-2-rac(2))y + c = 0
Après X (XY) donc on trouve c=-6-4rac(2)
C'est faux ?
C'est juste jusqu'au calcul de c:
c = 6 + 4rac(2) d'après tes calculs.
En divisant chaque terme de l'équation obtenue par -2-rac(2), on tombe sur l'équation que je t'ai donnée.
Ah, messages croisés!
Le repère étant orthonormé, la perpendiculaire à (Ox) passant par A la coupe selon un point P tel qu'on ait la relation vectorielle PA = y.j où y est l'ordonnée de A et j le vecteur unitaire de l'axe (Oy).
Ainsi, la distance de A à (Ox), qui vaut PA, est aussi égale à la norme du vecteur PA, donc à |y| = y (y est positif), c'est-à-dire 1.
De même pour la distance de A à (Oy).
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