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Niveau seconde
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Distance d'un point à une droite

Posté par
-valen-
14-04-09 à 10:51

Bonjour,

J'ai un DM à faire pour la rentrée,et j'aimerais bien qu'au fur et à mesure que je fasse l'exercice, quelqu'un me dise que, ce que j'ai fais est correct. Merci d'avance pour votre aide. Voici l'énoncé:

PARTIE A: UN PREMIER EXEMPLE

(O,,) est un repère orthonormé du plan.
1) Tracer D: 2x-y+1 = 0 et placer M (1;2)
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite D1 perpendiculaire à D et passant par M et la tracer.
3) En déduire les coordonnées de H projeté orthogonal de M sur D puis calculer MH.

PARTIE B: CAS GÉNÉRAL

D est la droite passant par A de vecteur normal n (vecteur). M est un point quelconque du plan et H est son projeté orthogonal sur D.

1. POINT DE VUE GÉOMÉTRIQUE
a) Démontrer que AM (vecteur).n (vecteur) = HM (vecteur).n (vecteur)
b) En déduire que d = |AM (vecteur).n (vecteur)| / ||n (vecteur)||

2. POINT DE VUE ANALYTIQUE
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,,) on suppose que D: ax+by+c = , A (xA,yA) et M (x,y).
a) Démontrer que AM (vecteur).n (vecteur) = ax+by+c
INDICATION: les coordonnées de A vérifient l'équation de D.
b) En déduire que d = | ax+by+c |/ a ( au carré) + b (au carré)
c) Retrouver le résultat de la partie A, en utilisant cette formule.

Le schéma est pour la PARTIE A, 1)

Distance d\'un point à une droite

Posté par
-valen-
re: Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 10:56

Je vous envoie le schéma qui sert d'aide pour la PARTIE B.

re: Distance d\'un point à une droite

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 12:39

bonjour,
d : y=2x+1  donc la pente de D1 est ...

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 12:42

... le schéma de D n'est pas bon...

Posté par
-valen-
re: Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 12:44

Je ne vois pas quoi répondre ..
D1 est perpendicalaire à D

Posté par
-valen-
re: Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 12:46

Où est-ce que j'ai fais la faute ?
J'ai choisis deux points et j'ai tracer ..

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 12:59

déja on a un coefficient directeur positif donc une droite croissante et non décroissante...

Posté par
-valen-
re: Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 13:52

D'accord, mais où sont les autres fautes, s'il y en a ?
Et ce que je ne comprends pas est .. comment je peux déterminer une équation cartésienne de D1, alors que je n'ai pas les coordonnées ? ( question 2, parite A )

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 13:58

...
soit D : y=ax+b  pour qu'une autre (y=a'x+b') y soit perpendiculaire elle doit avoir un coefficient directeur a'=-1/a
pour déterminer l'ordonnée à l'origine résous : a'+b=2 pour (M(1;2) ...

...
pour 2) D et D1 ont un point commun ==> H
...
je quitte l'île  @bientôt

Posté par
-valen-
re: Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 14:02

Ok
Merci quand même pour cette aide
A bientôt ! =)

Posté par
-valen-
re: Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 14:25

Est-ce quequelqu'un pourrait m'expliquer <l'aide> de maher_91 à 13h58 ?
J'ai des problèmes pour la partie A, 1) !

Merci

Posté par
-valen-
re: Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 14:40

EST-CE QUE CE NOUVEAU SCHÉMA POUR LA PARTIE A 1) EST JUSTE ?

re: Distance d\'un point à une droite

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 19:06

salut,
on reprend,
donc on veut déterminer l'équation de D1: y=a'x+b' .
on a 2 inconnus la pente a' et l'ordonnée à l'origine b'.
or D1 est perpendiculaire à D donc a'=\frac{-1}{a}...
il nous reste le  b' qui peut être trouver en résolvant a'+b=2 car le point M y appartient... t'es d'accord ?

Posté par
-valen-
re: Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 19:20

Oui j'ai compris le début, mais la dernière phrase n'est pas très claire ..

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 14-04-09 à 20:22

ok,
une fois on trouve le a' on aura une infinité de droites ayant cette pente donc on aura besoin d'un seul point qui appartient à cette droite pour dire "tiens je sais maintenant de quelle droite ils parlent "

or M D1 donc 1.a'+b'=2
c'est bon ?

Posté par
-valen-
re: Distance d'unpoint à une droite 15-04-09 à 10:43

Bonour, oui maintenant j'aibien compris !

Posté par
-valen-
re: Distance d'unpoint à une droite 15-04-09 à 11:43

Je pense avoir trouvé les coordonnées de D1
J'ai procédé comme ca:

a' = -1/a
a = 2, alors
a' = -1/2

a' + b' = 2
1/2 + b' = 2
b' = 2 - 1/2

Alors, b' = 4+1/2
Finalement b' = 5/2

Est-ce que c'est correct ?

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 15-04-09 à 12:13

Citation :
Je pense avoir trouvé les coordonnées de D1


coordonnées d'une droite ?

résultat correct même avec une erreur de signe au milieu   bizarre

a' + b' = 2
-1/2 + b' = 2   (t'es oublié le signe -)
b' = 2 +\frac{1}{2} =\frac{5}{2}

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 15-04-09 à 12:14

Citation :
(t'es oublié le signe -)

t'as.. lol

Posté par
-valen-
re: Distanc d'un point à une droite 15-04-09 à 12:25

Ahh oui ! C'est vrai

J'avais même pas vu ..

Posté par
-valen-
re: Distance d'un point à une droite 15-04-09 à 12:31

Mais .. les coordonnées que j'ai trouvé, ce sont celles de D ?
Comment je dois faire pour tracer ? Je suis un peu perdue ..

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 15-04-09 à 13:11

mais on dit pas coordonnées d'une droite...
pour tracer D1 qui est perpendiculaire à D on a besoin d'un point prends le M ..

Posté par
-valen-
re: Distanc d'un pint à une droite 15-04-09 à 13:15

Mais je dois d'abord tracer D ..
J'en fais quoi des points que j'ai trouvé ??

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 15-04-09 à 13:20

oui on a D :y=2x+1 trace la puis D1 : y=\frac{-1}{2} a + \frac{5}{2}

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 15-04-09 à 13:34

D1 : y=\frac{-1}{2} x + \frac{5}{2}
..

Posté par
-valen-
re: Distance d'un point à une droite 15-04-09 à 13:47

.. Je suis entrain de tracer là !

Posté par
-valen-
re istance d'un point à une droite 15-04-09 à 14:18

Alors, pour tracer D, j'ai choisis 2 points A et B avec les coordonnées suivantes:

A ( -2;-3) & B ( 1;3)

L'équation cartésienne de D1 est: -1/2x - y + 5/2
Alors j'ai procédé de la même facon:

J'ai choisis 2 points C & D avec les coordonnées :

C ( 7;6) & D ( -5;5)

Posté par
-valen-
re : Distance d'un point à une droite 15-04-09 à 14:44

J'ai essayé d'envoyer mon schéma, mais ca ne marche pas.
Je l'ai vérifié .. il est sûrement juste.

Posté par
-valen-
re : Distance d'un point à une droite 15-04-09 à 15:52

J'envoie mon schéma ..

Distance d\'un point à une droite

Posté par
maher_91
re : Distance d'un point à une droite 15-04-09 à 21:54

il est parfait ton schéma sauf que l'image de 7 dans ton calcul est -1 et non 6

Posté par
-valen-
re istance d'un point à une drite 16-04-09 à 18:35

Bonsoir, c'est à dire que dans les cordonnées du point C, c'est (7;-1) ?
Je ne comprends pas  ... après le schèma n'est plus le même pour la droite D1 !  

Posté par
-valen-
Re 18-04-09 à 10:45

Re-bonjour à tous !

Je vais poster toutes mes réponses aux questions, sauf celles du 2. a) b)et c) car j'ai quelques difficultés ..

RÉPONSES:
PARTIE A:
1) Schéma ( voir le tout dernier qui a été envoyé )

2) D1 a pour équation cartésienne:
   D1: -1/2x-y+5/2=0
On peut en déduire que:
y= -1/2x+5/2
Je choisis 2 points quelconques A & B:

f(-7) = -1/2.(-7)+5/2
      = 7/2+5/2
      = 12/2
      = 6
Donc A (-7,6)

f(-5) = -1/2.(-5)+5/2
      = 5/2+5/2
      = 10/2
      = 5
Donc B (-5,5)

3) M(1,2) et A(x,y)
Coordonnées du vecteur MA (x-1;y-2)
MA doit être colinéaire à n (vecteur) (-2;1)

On arrive donc à x-1 = k.2
              et y-2 = -k

Alors, x-1 = (-y+2).2
       x-1 = -2y + 4
       x-1 + 2y -4 = 0
       x - 5 + y = 0
       y = -x + 5

On a le système suivant:
   y= 2x+1
et y= -x+5
Je cherche le point d'intersection des deux droites, alors:

2x+1 = -x+5
2x+x = 5-1
3x = 4
x= 4/3

On remplace x par 4/3, donc:
y= -4/3 + 5
y= -4/3 + 15/3
y= 11/3
Donc le point H (4/3,11/3)
Maintenant pour calculer MH, on fait:

M (1,2) et H (4/3,11/3)
MH (vecteur) = ( 4/3-1; 11/3-2 )
             = ( 1/3; 5/3 )
Je calcule maintenant la norme du vecteur:
||MH|| = (5/3)² + (1/3)²
       = 25/9 + 1/9
       = 26/9
       = 26/3

PARTIE B:
1.a) AH (vecteur) = .
     AH.n = ( + ).n
          = .n + .n
          = .n    [ .n = 0 orthogonaux ]
          = HM.n
b) AM.n = HM.n
  |AM.n| = |HM.n|
         = ||HM||.||n||
et ||HM||= |AM.n|/ ||n||

EST-CE QUE C'EST JUSTE ?

Posté par
-valen-
Produit Scalaire 18-04-09 à 11:04

Bonjour ..
J'aurai besoin d'aide pour la question suivante.
Merci d'avance

D est la droite passant par A de vecteur normal n.
M est un point quelconque du plan et H est son projeté orthogonal ur D.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,,), on suppose que D: ax+by+c=0, A (xA, yA) et M (x,y)
Démontrer que AM (VECTEUR) .n = ax+by+c
INDICATION: LES COORDONNÉES DE A VÉRIFIENT L'ÉQUATION DE D QUI EST:
D: 2x-y+1 = 0

*** message déplacé ***

Posté par
rene38
re : Produit Scalaire 18-04-09 à 11:27

Bonjour
Quelles sont les coordonnées de \vec{n} ? de \rm{\vec{AM} ?

Corrige l'indication : Les coordonnées de A vérifient l'équation de (D) qui est ax+by+c=0 donc ax_A+by_A+c=0 ou encore ax_A+by_A=-c

*** message déplacé ***

Posté par
-valen-
re: Produit scalaire 18-04-09 à 11:32

Eh bien A étant un point quelconque a pour coordonnées (x,y), et M(1.2).
Donc les coordonnées de AM sont ( x-1, y-2).
n (vecteur) est un vecteur normal. Comme M(1,2) alors n (-2,1)

*** message déplacé ***

Posté par
rene38
re : Distance d'un point à une droite 18-04-09 à 11:52

Ton énoncé :

Citation :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,,), on suppose que D: ax+by+c=0, A (xA, yA) et M (x,y)
Ta réponse :
Citation :
Eh bien A étant un point quelconque a pour coordonnées (x,y), et M(1.2).

Et on termine par un super-mélange de coordonnées point-vecteur :
Citation :
n (vecteur) est un vecteur normal. Comme M(1,2) alors n (-2,1)

Posté par
Elicap
re : Distance d'un point à une droite 15-04-13 à 18:08

Bonjour!
Je suis arrivée à la question 2)a et je bloque. Je ne comprends pas vraiment la relation qu'on peut établir entre un produit scalaire et une équation. Si vous pouviez m'aider, ce serait vraiment très gentil... Merci d'avance!

Posté par
Elicap
re : Distance d'un point à une droite 15-04-13 à 19:12

Finalement j'ai trouvé! Merci quand  même!



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