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distance d un point à une droite ...

Posté par robenal (invité) 01-04-05 à 19:23

Bonjour à tous

Voila, j'ai décidement vraiment du mal avec la géométrie dans l'espace ... Pourriez vous m'aider ?

Soient a,b et c des réels strictement positifs.

Dans l'espace rapporté au répère orthonormal \rm ( O ; \vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k} ) , on considère les points \rm A( a; 0 ; 0 ) , \rm B( 0 ; b ; 0 ) et \rm C( 0 ; 0 ; c )

Il faut que je calcul la distance du point C à la droite (AB) ...

Merci d'avance pour votre aide

@+

Posté par rolands (invité)Distance d un point à une droite 01-04-05 à 20:14

Bonsoir Robenal,
AB est dans xOy .
1)_ cherche son équation.Si H est la projection de O sur AB,CH représente la distance de C à AB.
2)_établis l'équation de OH,puis détermine la longueur de OH.
3)_Pythagore te donnera la distance cherchée.OK?

Posté par drioui (invité)re: Distance d un point à une droite 01-04-05 à 22:18

d(C,(AB))=||AC^AB||/||AB||
nome du produit vectoriel des vecteurs AC et AB sur norme du vecteur AB

Posté par
Nofutur2
re : distance d un point à une droite ... 01-04-05 à 22:48

Tu peux calculer l'équation de la droite AB:
(y-b)/(x-0) = (0-b)/(a-0)
y = (-b/a )*x+b
Je calcule la distance OM2avec M sur la droite .
OM2 = x2+(-b/a*x+b)2+c2
Cette distance est minimale si la dérivée de la fonction précedente s'annule .
Je trouve x= (a*b2)/(a2+b2).
La distance est donc (après quelques calculs) :
OH2= (ab)2/(a2+b2)+ c2.

Posté par robenal (invité)re : distance d un point à une droite ... 02-04-05 à 09:30

Merci à vous rolands , drioui et Nofutur2 -> vous êtes vraiment les meilleurs ...

Alors, en utilisant la méthode de rolands, je trouve :

équation de (AB) : -bx-ay+ab=0 ( donc comme toi nofutur2 )

OH=\frac{|-b\time 0-a\time a +ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}

et donc en faisant pythgore dans OHC, je trouve :

CH^2=OC^2+OH^2

d'où CH=\frac{sqrt{c^2a^2+c^2b^2+a^2b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}

En plus cette valeur correspond parfaitement à la valeur qu'il me faut pour continuer l'exo.

Encore merci.

@+

Posté par rolands (invité)Distance d un point àune droite 02-04-05 à 14:54

Tu devrais t'appliquer à bien comprendre les solutions de Drioui et de
Nofutur2,elles son toutes les deux plus élégantes que la mienne qui est brute.... Bon courage.

Posté par Gonzo (invité)re : distance d un point à une droite ... 02-04-05 à 15:35

Représnetation parametrique de (AB)

AB(-a,b,0)

(A,AB)
x=a-at
y=bt
z=0

Déterminons la distance de C à un point quelconque de la droite.

CM2=(a-at)2+ b2t2+c2
=(a2+b2)t2-2a2t+a2+c2

Pour que cela conresponde à la distance de C à la droite il faut une valeur de t tel que CM2 soit minimum qui est:

t=(2a2)/(2(a2+b2)

Tu remplaces t par cette valeur et tu as ta distance. Facile non?



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