Bonjour!
Voilà je me posais une question on vient de terminer le cours de géométrie dans l'espace mais je ne sais pas comment déterminer la distance entre deux droites. On a vu comment déterminer la distance entre un point et un plan donné par un point et un vecteur normal, un point et un plan donné par un point et deux vecteurs directeurs, un point et un plan donné par une équation cartésienne, et un point et une droite donnée par un point et un vecteur directeur. Et pendant la semaine de vacance je voulais m'entrainer sur des exercices mais je bloque sur l'un d'entre eux ou il faut déterminer la distance entre deux droites...
Voici un exemple:
On a (D) et (D') qui sont données par les systèmes d'équations cartésiennes ci dessous:
et
Comment peut-on déterminer la distance de (D) à (D')?
J'ai essayé d'utiliser les systèmes d'équations réduites mais je n'arrive à rien
Merci d'avance!
Bonjour,
Ce n'est pas très commode les droites sont exprimées comme des intersections de plans. C'est beaucoup plus commode lorsque les droites sont exprimées sous forme paramétrique, avec un point P et un vecteur :
(D) = {P + tV, t }
(D') = {P' + t'V', t' }
Tu peux alors chercher à minimiser la distance entre deux points courants M et M', ou plutôt le carré de la distance :
d²(M,M') = d²(P + tV, P' + tV')
C'est une forme quadratique en t et t' dont tu trouveras le minimum par les méthodes usuelles.
Autre méthode : la droite reliant les points de distance minimum entre (D) et (D') est perpendiculaire à (D) et à (D'). En reprenant les notations ci-dessus, tu peux écrire que le vecteur MM' est perpendiculaire à V et à V', donc que les produits scalaires MM'.V et MM'.V' sont nuls. Cela te donne 2 équations du premier degré en t et t', donc un système linéaire à résoudre. C'est d'ailleurs peut-être bien le même que tu aurais trouvé en annulant les dérivées partielles de la forme quadratique de mon post de 08:35...
Bonjour,
Pour compléter les réponses de LeHibou:
Si la droite D (resp D')est définie par un point A et un vecteur (resp B et ) alors le vecteur est orthogonal à et ; la distance de D à D' est alors:
.
Merci beaucoup!
Et dans le cas de l'exemple que j'essaye de résoudre dans mon premier post quelle méthode est -il préférable d'employer?
En faisant une figure et des calculs je tombe sur une formule du type avec et des droites non coplanaires mais je n'arrive pas non plus l'utiliser dans mon exemple.
La première chose à faire est de paramétrer tes deux droites, par exemple en posant z = t, et en déduisant x et y en fonction de t.
Bonjour,
Les points H(13/7 ; 3/7 ; -4/7) et H'(9/7 ; 5/7 ; 2/7) sont les intersections de D et D' avec leur perpendiculaire commune.
Leur distance vaut 2(2/7). C'est la plus courte distance entre D et D'.
Merci frenicle, toujours fin géomètre !
Pour notre culture, quelle méthode as-tu utilisée ?
Bonne journée,
LeHibou
Bonsoir,
J'ai utilisé la méthode de Jandri.
D a pour repère A(1, 0, 1) et v(2, 1, 1)
D' a pour repère A'(1, 1, 0) et v'(1, -1, 1)
(on obtient v' en faisant le produit vectoriel des vecteurs normaux aux plans qui définissent D', (2, 1, -1) et (1, -1, -2) qu'on lit sur les équations de ces plans).
Le vecteur orthogonal aux deux droites est v v' = w(2, -1, -3)
La plus courte distance s'obtient en appliquant la formule de Jandri.
Pour obtenir H et H', on peut écrire H = (1 + 2t, t, 1 + t) et H' = (1 + t', 1 - t', t') et chercher t et t' tels que HH'w = 0.
Bonjour à tous,
Et tout d'abord merci de ce partage de connaissance très enrichissant !
LeHibou, tu évoques, dans les tous premiers posts, une méthode consistant à minimaliser le carré de la distance entre les deux droites via leurs formes paramétriques respectives.
Est-il possible d'avoir un exemple de cette méthodologie qui me semble intéressante ?
Merci beaucoup.
Je vais essayer
Ave des notations que tu comprendras sans peine :
D1 : M(s) = M1 + sV1
D2 : N(t) = M2 + tV2
d²(M(s), N(t))= |M2 + tV2 - (M1 + sV1)|²
d²(M(s), N(t)) est une forme quadratique en s et t. Tu écris que :
d²(M(s), N(t))/s = 0
d²(M(s), N(t))/t = 0
Ça te donne un système en s et t et qui doit avoir une solution unique (s0 , t0), sauf si V1 et V2 sont colinéaires, auquel cas le système a une infinité de paires de solutions.
La distance minimale est alors d(M(s0) , N(t0))
A essayer...
Bonjour,
Je suis très en retard mais j'ai eu du mal à comprendre cet exercice et, si mon explication peut aider quelqu'un.. En fait ma façon de faire est toute simple. Je prend un vecteur directeur (d1 et d2) de chacune des droites et un point quelconque (p1 et p2) sur chacune des droites. Ensuite, je crée un vecteur quelconque (p1p2) à partir des points sur chaque droite. Je fais le produit vectorielle entre d1 et d2 ce qui me donne un vecteur perpendiculaire a d1 et a d2 (aux deux droite aussi). Il ne reste qu'à faire la projection orthogonale de p1p2 sur (d1 x d2). Cela me donne le vecteur entre la droite 1 et la droite 2. Il ne reste qu'à calculer la norme du vecteur pour connaître la distance. Projection orthogonale: ((p1p2.(d1 x d2))/((d1 x d2).(d1 x d2))).(d1 x d2) Puis, la norme et c'est tout.
Salut les gars, vous êtes sûr des calculs ? J'a essayé dans mon cas à moi et je n'ai pas trouvé la bonne solution. Je me suis donc dit que j'allais dessiner en 3D cette situation :
D a pour repère A(1, 0, 1) et v(2, 1, 1)
D' a pour repère A'(1, 1, 0) et v'(1, -1, 1)
ce qui me donne une distance de 0.5345 donc pas 2*racine(2/7).
Bonjour,
Par la méthode présentée par le Hibou le 17-4-10 à 9h20, j'ai trouvé que la distance entre les deux droites était égale à 14 /7 0,5345 .
Salut
Je n'arrive pas à lire les deux systèmes d'équation mais bon on s'en fiche
il n'est pas compliqué de trouver deux points distincts de chacune de ces deux droites
pour autant qu'on puise lire les deux systèmes
une formule simple et qui fonctionne dans
le produit scalaire euclidien
Soient et deux droites de donc
un vecteur directeur de
un vecteur directeur de
on pose
-lorsque alors les deux droites sont parallèles et en posant
alors est la distance entre ces deux droites parallèles
-lorsque alors les deux droites ne sont pas parallèles et en posant
et
alors est la distance entre ces deux droites non parallèles
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :