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Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide

Posté par
mariloupe
25-02-22 à 14:32

Bonjour,
Je suis bloqué à un exercice et je me demandais si vous pouviez m'aider.
J'ai joint l'énoncé ci-dessous :

1)
x=t
y=t
z=0

2) a)J'ai réussi à démontrer en faisait le carré de la racine carré

b) je me suis dit qu'il fallait remplacer le t par M⁰ mais je n'arrive pas à démontrer cela

Merci d'avance

Distance minimale entre 2 points et volume d\'une pyramide

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 14:40

Bonjiur

les moteurs de recherche et les copier-coller ne peuvent pas extraire du texte d'une image
il est donc obligatoire de recopier au moins le début de l'énoncé
comme exigé dans A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI
et comme tu as forcément dû le lire en joignant ton image

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?


quand ce sera complété en réponse ici dans cette discussion, tu auras de l'aide.

Posté par
mariloupe
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 15:02

D'accord merci beaucoup, j'ai du lire en diagonale merci.
Dans un repère orthonormé (0; i,j,k) on considère:

• le point A de coordonnées (I; 3; 2),
• le vecteur u de coordonnées (1;1;0)
• la droite d passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur u.

Le but de cet exercice est de déterminer le point de d le plus proche du point A et d'étudier quelques propriétés de ce point.
On pourra s'appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d.
j'ai trouvé: x=t, y=t, z=0

2.Soit t un nombre réel quelconque, et M un point de la droite d, le point M ayant pour coordonnées (t;t; 0).
a On note AM la distance entre les points A et M. Démontrer que : AM^2 = 2t^2-8t + 14
cette question j'ai réussi

b. Démontrer que le point M⁰ de coordonnées
(2; 2; 0) est le point de la droite d pour lequel la distance AM est minimale. On admettra que la distance AM est minimale lorsque son carré AM est minimal.
C'est là où je bloque car je me suis dit qu'il fallait peut-être remplacer les t de AM^2 par M⁰ mais je n'arrive pas à continuer

3. Démontrer que les droites (AM⁰) et d sont orthogonales.
cette question aussi je l'ai faite en faisant le produit scalaire qui doit être égal à 0

4. On appelle A' le projeté orthogonal du point A sur le plan d'équation cartésienne z = 0. Le point A' admet donc pour coordonnées (1; 3; 0). Démontrer que le point M⁰ est le point du plan (AA' M⁰) le plus proche du point O, origine repère.
cette question aussi je suis bloqué

5.Calculer le volume de la pyramide OM,A' A. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: V =Bh, où B est l'aire d'une base et h est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.

Voilà voilà, je vous joins la figure qui y est associée :

Distance minimale entre 2 points et volume d\'une pyramide

Posté par
Priam
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 15:47

Bonjour,
2. Cherche le minimum de AM². le segment AM sera aussi de longueur minimale pour la valeur de  t  obtenue.
4. Démontre que la droite OMo est perpendiculaire à deux droites du plan (AA'Mo).

Posté par
mariloupe
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 15:56

Je n'ai pas très bien compris comment chercher le minimum de AM²

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 15:58

2b)
AM^2 = 2t^2-8t + 14
AM² minimale = minimum d'une fonction du second degré = cours
donne la valeur de t et les coordonnées du point cherché.
on vérifie alors que c'est M0

4) prouver de façon géométrique ou avec des produits scalaires que OMo est orthogonale au plan (AA' Mo) :
car alors pour tout autre M du plan, dans le triangle OMM0 l'hypoténuse OM > OM0)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 15:59

comme disait Priam (que je salue) entre temps d'ailleurs.

Posté par
Priam
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 16:03

On a établi au 2 l'expression de AM² en fonction de  t . C'est un trinôme du second degré.
Il s'agit donc de déterminer la valeur de  t  qui lui donne sa valeur minimale.

Posté par
mariloupe
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 16:10

D'accord merci beaucoup
Du coup comme c'est une fonction du second degré j'ai fait t=-b/2a et j'ai trouvé t=2 puis j'ai remplacé dans AM² et j'ai trouvé que la distance minimale est de 6.

Pour le 4 j'ai aussi compris et j'ai trouvé avec le produit Scalaire.

Posté par
mariloupe
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 16:16

Du coup grâce à la représentation parametrique de (d), je remplace t par 2 et je trouve bien que le point est (2;2;0) soit le point M.
Est-ce bien cela ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 16:19

on ne demande pas de calculer dans la 2b la valeur de la distance minimale, mais de prouver que c'est en M0

une fois que tu as t =2 tu reportes dans l'équation de la droite pour vérifier si oui ou non c'est bien le point M0

Posté par
Priam
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 16:19

2. D'accord. On demande au paragraphe  b  d'en déduire les coordonnées du point M correspondant.
4. Très bien (pour une certaine droite du plan AA'Mo, point n'est besoin  de produit scalaire).

Posté par
mariloupe
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 16:30

D'accord merci beaucoup !!
Et pour la question 5, la hauteur est bien AM ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 16:47

dans une telle pyramide (tétraèdre) n'importe laquelle; des 4 faces peut être choisie comme base
et la hauteur est la perpendiculaire à cette base (le plan) issue du sommet opposé.

AM est perpendiculaire à quel plan ??
surtout qu'on te parle de Mo pas de M quelconque.

cherche parml les perpendiculaires à des plans dans la figure.
(2 choix possibles)

Posté par
mariloupe
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 16:52

Donc si je prend le plan AA'M⁰ la droite AA' est perpendiculaire à ce plan du coup ?

Posté par
mariloupe
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 16:54

Ou plutôt AA' est perpendiculaire au plan AA'O

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 17:01

non
AA' est bien perpendiculaire au plan AA'Mo

une droite (UV) ne peut certainement pas être perpendiculaire au plan (UVW) puisque incluse dans ce plan !!

Posté par
mariloupe
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 17:02

D'accord d'accord.
En tout je vous remercie beaucoup, vous m'avez beaucoup aidé.
Je vous souhaite une bonne fin de journée !
Encore merci !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance minimale entre 2 points et volume d'une pyramide 25-02-22 à 17:10

de rien

il reste à finaliser le calcul numérique de ce volume.
(en utilisant certains résultats déjà obtenus et en les complétant)



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