Bonsoir,
La page que tu donnes en lien contient la définition de l'équivalence de distances. Tu y trouves aussi le fait que deux distances équivalentes sont topologiquement équivalentes, et un exemple de distances topologiquement équivalentes et non équivalentes. Que te faut-il de plus ?

Comprendre.

Comprendre ...... d'autant plus que mon cours utilise la définition de "distances équivalentes"  évoquée dans le site pour dire que 2 distances sont dans ce cas "Topologiquement équivalentes".  

Donc pour répondre spécifiquement à ta question, ce qu'il me faut de plus, c'est juste une aide bienveillante à même de m'apporter un éclairage sur mes confusions.

Voilà ce que j'ai dans les mains :

Donc à la lumière de ton post qui avalise donc à mes yeux ce qui est indiqué sur le site, je comprends donc à présent que la condition d'encadrement ci-dessus implique que l2 distances sont équivalentes, et donc par conséquent topologiquement équivalentes.
J'en conclus donc aussi que ce passage de mon polycopié est  particulièrement maladroit.
Merci

Et tu as tort de conclure cela, à mon avis.
Ton polycopié n'introduit pas la terminologie de "distances équivalentes". Simplement, il énonce la propriété qui définit cette notion et il établit que cette propriété est une condition suffisante pour l'équivalence topologique.
Voila, il y a ainsi deux notions d'équivalence pour les distances, dont l'une est strictement plus forte que l'autre. Il me semble que tu as tous les éléments pour comprendre cela, avec bien entendu un peu de réflexion personnelle. Bon travail !

Je te remercie.

Avec plaisir.