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Distances topologiquement équivalentes

Posté par
Fractal 11-03-20 à 08:08

Bonjour à tous,

J'ai un exercice avec corrigé, et le corrigé "ne me convient pas".

Donc voilà, c'est l'histoire d'un espace métrique (E,d) où il faut montrer que d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} est une distance topologiquement équivalente (TE) à d.

Donc on joue aux boules sur le fait que "Tout boule centrée en un point pour une distance contient une boule centrée en ce point pour l'autre distance :

1-\forall x\in E,\forall r>0,\exists r'>0\mid \overset{\circ}{\textrm{B}}_{d'}(x,r')\subset \overset{\circ}{\textrm{B}}_{d}(x,r)\\ \text{et}\\ 2-\forall x\in E,\forall r>0,\exists r'>0\mid \overset{\circ}{\textrm{B}}_{d}(x,r')\subset \overset{\circ}{\textrm{B}}_{d'}(x,r)\\

et du coup j'ai procédé ainsi (pour le "sens 1") :

\overset{\circ}{\textrm{B}}_{d'}(x,r')=\{y\in E\mid d'(x,y)<r'\}\\\\ d'(x,y)<r'\Rightarrow \frac{d(x,y)}{1+d'x,y)}<r'\Rightarrow d(x,y)<\frac{r'}{1-r'}

et à partir de là je bloque.

En regardant le corrigé, c'est "en gros" la même chose et le corrigé conclut par : "en prenant r' assez petit (assez petit par rapport à quoi ?) on a bien \frac{r'}{1-r'}<r

Ben désolé, pour moi ce n'est pas si évident que ça ...

Ok sur l'idée de la démarche (d'où on part et vers où on veut aller), mais le "assez petit", désolé je ne vois pas la rigueur nécessaire là-dedans, surtout pour un corrigé.

Donc comment peut-on rigoureusement prouver que la condition se vérifie ?

Vous remerciant.

Posté par
mokassinre : Distances topologiquement équivalentes 11-03-20 à 08:13

Bonjour,
Tu as r/(1-r) tend vers 0 quand r tend vers 0, donc si tu te fixes r', il existe un r suffisament proche de zero tel que r/(1-r)<r'.

Posté par
Fractalre : Distances topologiquement équivalentes 11-03-20 à 08:21

Ah ben là au moins c'est clair !
Merci beaucoup.

Posté par
luzakre : Distances topologiquement équivalentes 11-03-20 à 08:28

Tout simplement puisque t\mapsto\dfrac t{1+t} est continue en 0, pour h>0 il existe h'>0 tel que d(x,a)<h'\implies d'(x,a)<h.

Idem avec la fonction t\mapsto\dfrac t{1-t} puisque d(x,y)=\dfrac{d'(x,y)}{1-d'(x,y)} on a l'inclusion inverse.

L'équivalence topologique consiste à montrer la continuité de \mathrm{id}_E
de (E,d) vers (E,d') et vice-versa. Lorsque d'(x,y)=z(d(x,y) et d(x,y=v(d'(x,y)) cela revient à montrer la continuité en 0 des fonctions z,u pour la distance usuelle de \R

Posté par
Fractalre : Distances topologiquement équivalentes 11-03-20 à 08:31

Merci luzak, je mets ta remarque au chaud dans ma besace et y reviendrai plus tard, car pour l'instant je n'en suis pas encore là.

Posté par
Fractalre : Distances topologiquement équivalentes 12-03-20 à 11:13

Je découvre donc dans mon cours que d et d' sont (TE) si et seulement si l'application Identité de (E,d) dans (E,d') est un homéomorphe (donc si j'ai bien saisie, qu'elle est injective, continue et bicontinue).

La question que je me pose, sûrement très bête, c'est « mais comment pourrait-il ne pas en être ainsi pour l'application identité ?

Posté par
Fractalre : Distances topologiquement équivalentes 12-03-20 à 11:14

* donc si j'ai bien saisie, qu'elle est ibijective, continue et bicontinue

Posté par
WilliamM007re : Distances topologiquement équivalentes 12-03-20 à 11:44

Fractal @ 12-03-2020 à 11:13

La question que je me pose, sûrement très bête, c'est « mais comment pourrait-il ne pas en être ainsi pour l'application identité ?


L'application identité est bien évidemment bijective. En revanche elle n'a aucune raison d'être continue. Prend par exemple sur \R les distances d(x,y)=\vert x-y \vert et d'(x,y)=1_{x\neq y} (c'est-à-dire qu'elle vaut 1 si x\neq y et 0 sinon). Dire que l'application identité est continue de (\R,d) dans (\R,d'), cela revient à dire (par exemple) :
\forall\varepsilon>0,\quad\exists\eta>0,\quad\forall x,y\in\R,\quad d(x,y)<\eta\implies d'(x,y)<\varepsilon.

En particulier pour \varepsilon=1/2, cela donne
\quad\exists\eta>0,\quad\forall x,y\in\R,\quad\vert x-y\vert<\eta\implies x=y,
ce qui est bien sûr faux. En effet, s'il existait un tel \eta, alors puisque \vert x-(x+\eta/2)\vert=\eta/2<\eta, on aurait x=x+\eta/2, ce qui est faux.

Posté par
Fractalre : Distances topologiquement équivalentes 12-03-20 à 17:01

Je te remercie.
A partir de « En particulier .... » de ton post, je ne comprends plus.

Posté par
WilliamM007re : Distances topologiquement équivalentes 12-03-20 à 17:25

C'est la réécriture de la phrase

Citation :
\forall\varepsilon>0,\quad\exists\eta>0,\quad\forall x,y\in\R,\quad d(x,y)<\eta\implies d'(x,y)<\varepsilon

pour \varepsilon=1/2.

En effet, d'(x,y)<1/2\iff1_{x\neq y}<1/2\iff1_{x\neq y}=0\iff x=y. De plus, d(x,y)<\eta\iff\vert x-y\vert<\eta. On aboutit donc à
Citation :
\quad\exists\eta>0,\quad\forall x,y\in\R,\quad\vert x-y\vert<\eta\implies x=y

Posté par
Fractalre : Distances topologiquement équivalentes 13-03-20 à 09:18

Et bien écoute, je te remercie.
Je vais revoir ça car je ne suis vraiment pas sûr de tout comprendre là.


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