salut

ce n'est pas une proposition c'est une définition !!

Dans mon poly c'est marqué "Proposition", avec à la suite une démonstration que je ne comprends pas au-delà de ce que j'ai mis ci-dessous :


Soit un ouvert de .
Soit , alors tel que :
avec

Bonjour

Deux distances sont topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie, c'est-à-dire si elles ont les mêmes ouverts.

L'hypothèse de l'exo entraine cette propriété, mais elle est plus forte.
La démonstration et le dessin montrent qu'un ouvert de est une réunion de boules de la topologie associée à

Bonjour Camelia,

Est-ce que exceptionnellement je peux mettre présentement l'image de la démonstration de mon poly pour illustrer, car la démonstration dedans me laisse dubitatif ?

Ok. J'espère que maintenant tu as compris.

Non.

Voilà la dite "démonstration" :

..... et donc je ne comprends pas cette démonstration.
Quelqu'un saurait-il m'aiguiller s'il vous plaît ?
Vous remerciant.

Quelle partie ne comprends-tu pas ?

Le plan de la démonstration c'est

1) Soit O un ouvert pour la topologie associée à d1. On veut montrer que O est aussi un ouvert pour la topologie associée à d2

2) Par définition d'un ouvert, pour tout x appartenant à O, il existe un rayon r telle que la boule de centre x et de rayon r(x) > 0 (pour la distance d1) soit entièrement incluse dans O

3) On constate que la boule de centre x et de rayon pour la distance d2 est elle aussi incluse dans O, grâce à l'une des inégalités. Par définition O est bien un ouvert pour la distance d2, puisqu'on a trouvé un rayon  r* tel que B(x, r*(x)) soit inclus dans O, pour tout x appartenant à O

4) d1 et d2 jouent des rôles symétriques. Il suffit de remplacer d1 par d2 et C1 par C2 partout dans ce qui précède pour établir qu'un ouvert pour d2 est aussi un ouvert pour d1

5) On a donc réussi à montrer que d1 et d2 définissent les mêmes ouverts, c'est-à-dire que d1 et d2 sont topologiquement équivalentes

Je te remercie.
C'est à partir de là que je ne comprends pas :

Citation :
3) On constate que la boule de centre x et de rayon pour la distance d2 est elle aussi incluse dans O, grâce à l'une des inégalités.

Comme et sont strictement positifs, tu as aussi

Je suis vraiment désolé, mais je ne vois vraiment pas.
Dans la démonstration est marqué "Si ...".
La 1ère question qui me vient à l'esprit c'est : "Mais si   n'est paés inférieur strict à , qu'est-ce que ça implique ?"

.... en d'autres termes dans mon esprit, c'est "Pourquoi serait-elle de prime abord telle que ?"

Tu veux montrer que la boule de rayon est incluse dans quelque chose. Le raisonnement commence par;
Si x est dans cette boule, c'est-à-dire si , et tu continues!

Ok je te remercie. Je vais me repencher là-dessus.