en gros, l'idée pour construire Z à partir de N, c'est de définir une relation d'équivalence sur les couples (a,b) d'entiers naturels
(a,b) R (a',b') < == > a + b' = a' + b (vérifie que c'est bien une relation d'équivalence)
et un entier relatif est une classe d'équivalence pour cette relation d'équivalence. par la suite je noterai CL(a,b) la classe de (a,b)
on définit aussi une addition induite par + habituel de N : on constate que si (a,b) R(a',b'), et (c,d) R(c',d'), alors (a+c,b+b)R(a'+c',b'+d'), ce qui légitime de poser CL(a,b) + CL(c,d) = CL(a+c, b+d)
on vérifie alors que cette loi est associative, commutative, que CL(0,0) (qui contient tous les (a,a) avec a dans N) est élément neutre, et que CL(a,b) admet un symétrique qui est CL(b,a) : notre nouvel ensemble est un groupe, muni de cette addition.
On montre alors que l'application f de N vers ce nouvel ensemble, qui à n associe f(n) = Cl(n,0), est un morphisme injectif : ça permettra d'identifier un entier naturel n avec CL(n,0) (de noter de la même manière un entier naturel et un entier relatif positif, à terme)
et puisque l'opposé de CL(n,0) qu'on va noter n est CL(0,n) = -CL(n,0), il devient naturel de noter aussi -n pour CL(0,n), et pour terminer, puisque CL(n,0) + CL(0,m) = CL(n,m), on notera simplement n-m pour CL(n,m)
en gros, les entiers relatifs positifs, identifiés aux entiers naturels = CL(n,0), les entiers relatifs négatifs, opposés des entiers naturels = CL(0,n)
On pourrait parler ici de la relation d'ordre, aussi
tu suis toujours ?
on va passer au produit ! je te préviens, c'est plus compliqué !
comme on a vu qu'à terme, CL(a,b) deviendra a-b, et CL(c,d) deviendra c-d, on sait ce qui nous reste à faire pour définir une multiplication sur cet ensemble de classes : on aimerait bien que ça marche "comme d'habitude" et que donc (a-b)(c-d) )= ac + bd - (ad + bc)
avant de définir Cl(a,b)*CL(c,d) = CL(ac+bd, ad+bc), il faut quand même s'assurer que ça ne dépend pas du représentant choisi pour les différentes classes, en clair, que si (a,b) R (a',b') et (c,d) R (c',d'), on aura encore (ac+bd, ad+bc) R (a'c'+b'd', a'd'+b'c')
c'est parti : on suppose donc a + b' = a' + b, et c + d' = c' + d
on multiplie ces égalités par c,d,a' et b' : ac + b'c = a'c + bc, a'd + bd = ad + b'd, a'c + a'd' = a'c' + a'd, et b'c' + b'd = b'c + b'd'
on additionne tout membre à membre : ac + b'c + a'd + bd + a'c + a'd'+ b'c' + b'd = a'c + bc+ ad + b'd+ a'c' + a'd + b'c + b'd'
on simplifie : ac + bd + a'd'+ b'c' = bc + ad + a'c' + b'd' ! c'est gagné ! magique, non ?
donc on pose CL(a,b)*CL(c,d) = CL(ac+bd, ad + bc)
au passage, la règle des signes, elle est là : si m et n sont des entiers naturels, m(-n) = CL(m,0)*CL(0,n) = CL(m*0 + 0*n, mn + 0*0) = -mn : le produit d'un positif par un négatif est un négatif
tu voulais prouver la distributivité ? il "suffit" de vérifier que CL(a,b)*(CL(c,d) + CL(c',d')) = CL(a,b)*CL(c,d) + CL(a,b)*CL(c',d') ...