Niveau Maths sup

diviseur et carré parfait

Posté par kriskadespe (invité) 01-12-05 à 13:29

bonjours a toi qui va peu etre pouvoir sauver les derniers cheveux qu'il me reste sur la tete....
je sais deja que n est un carré parfait si et seulement si d(n) est impaire et que d(n)=(a₁+1)*(a₂+1)*...*(a_r+1)

soit un entier naturel superieur ou egal a 2. on decompose n en produit de facteurs premiers: n = p₁^a₁*p₂^a₂*...*p_r^a_r
on note d(n) le nombre de diviseur positif de n.

question:

démontrer que pour tout entier n, n^d(n) est un carré parfait et plus precisément que c'est le carré du produit de tous les diviseur positif de n.

1000 merci.

Posté par peej (invité)re : diviseur et carré parfait 01-12-05 à 15:46

bonjour,
il y a sûrement plus simple mais voici une solution :

montre tout d'abord que d(nm)=d(n)d(m) si n et m sont premiers entre eux (de telles fonctions sont souvent appelées fonctions arithmétiques et sont très intéressantes)

puis montre que si n est de la forme $p^\alpha$ , avec p premier, ce que tu veux montrer est vrai !!

Puis résonne par récurrence sur le nombre de diviseurs premiers de n :

Si P est vrai pour n, on a

$n^{d(n)}=\prod d_i^2$

et si $p^\alpha$ n'est pas un diviseur de n, on a :

$(n p^\alpha)^{d(n p^\alpha)}=(n^{d(n)})^{d(p^\alpha)} ((p^\alpha)^{d(p^\alpha)})^{d(n)}$
$= (\prod d_i^2)^{\alpha+1} (p^{\alpha(\alpha+1)})^{d(n)}$

Posté par peej (invité)re : diviseur et carré parfait 01-12-05 à 15:48

en comparant avec le produit des diviseurs de $n p^\alpha$ (en dénombrant), tu devrais pouvoir conclure

(en espérant que je ne me suis pas trompé)

A plus

Posté par re : diviseur et carré parfait 01-12-05 à 16:38

voir https://www.ilemaths.net/sujet-dm-nombre-de-diviseurs-positifs-de-n-58756.html#msg360728

Posté par peej (invité)re : diviseur et carré parfait 01-12-05 à 16:54

Pour te donner la fin de ma preuve (comme ca tu en auras deux avec celle de piepalm),

voici comment montrer l'égalité recherchée pour les diviseurs de $n p^\alpha$

le produit des diviseurs de $n p^\alpha$ est égal à

$\prod d_i \times p^{d(n)}\prod d_i \times\ldots\times (p^\alpha)^{d(n)}\prod d_i$ (car p est premier et ne divise pas n)

$=(\prod d_i)^{\alpha+1}(p^{\alpha(\alpha+1)/2})^{d(n)}$

Ce qui, mit au carré te redonne bien l'expression précédente => tu as ta relation de récurrence.

"montre que si n est de la forme , avec p premier, ce que tu veux montrer est vrai !!" : initialisation de la récurrence.

Il ne reste qu'à conclure

Posté par bel_jad5 (invité)hi 01-12-05 à 21:52

voila comment montrer que n^d(n) est un carré parfait
on sait que si d est un diviseur de n alors n/d est un diviseur de n
par suite
{ d1 , d2 ,..., dk}={n/d1 , n/d2,...,n/dk}ou k=d(n)
on fait les produit de ts les elements de chak ensemble (qui sont egaux)
d1*d2...*dk=n/d1*n/d2...n/dk
d ou n^k=(d1*d2*...*dk)²

Posté par peej (invité)re : diviseur et carré parfait 01-12-05 à 22:40

ah oui, c'est carrément plus simple comme preuve

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