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Divisibilité
Posté par Cauchy
Bonjour,
un court exo pour s'occuper,
soit p premier impair,montrer qu'il existe un couple (x,y) de Z*Z tel que 1+x²+y²=0(mod p).
Bon courage 
Bonsoir Cauchy
Je crois que ça marche aussi si l'on remplace 1 par n'importe quel autre entier, non ?
Kaiser
Bonsoir,
Je réponds juste pour pouvoir suivre ce post, car ça m'intéresse ce genre d'exo, sachant que c'est typiquement le genre d'exercice où je ne sais pas quoi faire, et ne peux écrire la moindre ligne.
Je viendrai demain voir la correction ou les indices
Bonne nuit 
Bonsoir Cauchy ;
L'application est un morphisme de groupe de noyau
qui à deux éléments (
) le théorème d'isomorphisme donne
il y'a donc
carrés non nuls dans
et en ajoutant
on a donc
carrés dans
.
les deux ensembles et
ont au moins un élément en commun
(sauf erreur bien entendu)
on pouvait également considérer l'application
(Z/pZ)-> Z/pZ
x-> x²
et l'application
Z/pZ -> Z/pZ
y-> -y²-1
je prolonge l'exercice de Cauchy :
En déduireque, pour tout nombre premier p, il existe (k,x,y,z,t)appartenant à N^5 tel que :
x²+y²+z²+t² = kp
et kappartien [1,p-1]
Citation :
Je crois que ça marche aussi si l'on remplace 1 par n'importe quel autre entier, non ?
Je crois que ça marche aussi si l'on remplace 1 par n'importe quel autre entier, non ?
C'est pour mieux vous tromper
hatimy,il existe x et y tel que 1+x²+y²=0(p),on peut choisir x tel que |x|<p/2,de même pour y.
Donc 1+x²+y²=kp et 1+x²+y²<1+p²/4+p²/4<=1+p²/2<p² d'ou k<p.
On a même,pour F un corps fini de caractéristique p>2,tout élément de F est somme de deux carrés dans F
Autant pour moi j'ai voulu écrire:
les deux ensembles et
ont au moins un élément en commun.
(sauf nouvelle erreur)