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divisibilité

Posté par Newgatee 03-10-21 à 11:07

Bonjour,

  Il faut montrer que (n+1)n-1 est divisible par n2

(n+1)^{n}-1=\sum_{0}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}}=\sum_{1}^{n}\binom{n}{k}{n ^{k}}=\sum_{2}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}}+\binom{n}{1}=\sum_{2}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}}+n^{2}

Je comprends facilement que n2 soit divisible par n2.

Mais pour la divisibilité de \sum_{2}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}}, j'ai plus de mal...

Si vous pourriez m'éclairer un petit peu...

Merci d'avance.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : divisibilité 03-10-21 à 11:18

Bonjour,
Écrire les premiers termes de \sum_{2}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}} pourrait t'éclairer.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : divisibilité 03-10-21 à 11:23

Il y a des coquilles dans tes égalités.

(n+1)^{n}-1=\left( \sum_{0}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}}\right) - 1
Et \binom{n}{1} n'est pas égal à n2.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : divisibilité 03-10-21 à 11:47

Et attention, \; \sum_{2}^{n} \; ne peut pas s'écrire sans une condition sur n.

Posté par Newgateere : divisibilité 03-10-21 à 13:37

on applique la formule du binôme avec a=n et b=1

(n+1)^{n}-1=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}}-1=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}{n ^{k}}=\sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}}+\binom{n}{1}n=\sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}}+n^{2}

oui, j'ai fais pleins de bourdes...

Posté par Newgateere : divisibilité 03-10-21 à 13:44

\sum_{2}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}}=n^{2}[\binom{n}{2}+\binom{n}{3}n+...\binom{n}{n}n^{n}]

c'est donc divisible par n2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : divisibilité 03-10-21 à 13:54

C'est incomplet.

Et merci de mettre à jour ton profil. Tu n'es plus en terminale.

Posté par Newgateere : divisibilité 03-10-21 à 14:02


C'est fait !

Honnêtement je ne vois pas ce qu'il manque pour conclure...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : divisibilité 03-10-21 à 14:07

Sylvieg @ 03-10-2021 à 11:47

Et attention, \; \sum_{2}^{n} \; ne peut pas s'écrire sans une condition sur n.

Posté par Newgateere : divisibilité 03-10-21 à 14:16

pour tout n on a...


donc pour tout n, n2 divise (n+1)n-1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : divisibilité 03-10-21 à 14:20

Que vaut \sum_{2}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}} pour n = 1 ou n= 0 ?

Posté par Newgateere : divisibilité 03-10-21 à 14:23

Ah non c'est pas possible la somme démarre à k=2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : divisibilité 03-10-21 à 14:28

Oui ; ta démonstration est donc incomplète, car non valable pour certaines valeurs de n.

Posté par
GBZMre : divisibilité 03-10-21 à 14:38

Sylvieg @ 03-10-2021 à 14:20

Que vaut \sum_{2}^{n}\binom{n}{k}{n^{k}} pour n = 1 ou n= 0 ?


Bonjour,

Si je peux me permettre, ces sommes sont égales à 0, car la somme d'une famille vide est nulle.

À mon sens, la démonstration est donc complète.

Posté par Newgateere : divisibilité 03-10-21 à 14:49

oui, il manque les cas avec n=0 et n=1,

pour n=0, on a (n+1)n-1=0
n2=0
0 divise 0


pour n=1, on a (n+1)n-1=1
n2=1
1 divise 1

On a montré que n2 divise (n+1)n, pour n [0,n] et que n2 est divisible par n2

donc (n+1)n-1 est divisible par n2

Posté par Newgateere : divisibilité 03-10-21 à 14:51

pour tout nN

Posté par
GBZMre : divisibilité 03-10-21 à 14:57

À mon sens, ces compléments sont inutiles, car pour tout n\in \N, n\binom{n}{1}=n\times n  et \sum_{2\leq k\leq n} n^k\binom{n}{k} est divisible par n^2 comme somme de termes tous divisibles par n^2.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : divisibilité 03-10-21 à 15:09

@Newgatee,
Il faut faire "Aperçu" et se relire avant de poster. Encore des coquilles dans

Citation :
On a montré que n2 divise (n+1)n, pour n [0,n] et que n2 est divisible par n2


@GBZM,
Il y a aussi du \binom{n}{1} dans la démonstration de Newgatee ; ce qui, pour moi, pose problème avec n =0.

Ceci dit, l'énoncé n'ayant pas été recopié depuis le premier mot, on ne sait pas où est n, même si on le devine

Posté par
Sylvieg Moderateurre : divisibilité 03-10-21 à 15:12

J'ai posté sans voir le message de 14h57.

n\binom{n}{1}=n\times n est une formule que je n'ai pas apprise.
Mais on apprend à tout age

Posté par
Sylvieg Moderateurre : divisibilité 03-10-21 à 15:13

n\binom{n}{1}=n\times n est une formule que je n'ai pas apprise pour n = 0.

Posté par
GBZMre : divisibilité 03-10-21 à 15:28

\binom{0}{1} = 0, bien sûr ! What else ?
Pour tout entier n\in \N, on a bien \binom{n}{1} = n. D'abord, combien un ensemble à n éléments a-t-il de parties à 1 élément ?
Je trouve cet échange assez symptomatique de la "peur du vide" qui se transmet de génération en génération . Le vide est un ensemble comme un autre, il relève des mêmes règles générales.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : divisibilité 03-10-21 à 15:54

Disons que jusqu'en terminale l'usage est de définir \binom{n}{k} pour k n.
Mais on ne va pas en faire un fromage

Posté par
GBZMre : divisibilité 04-10-21 à 11:51

N'en faisons pas un fromage, d'accord. Mon intervention visait juste à dire qu'en fait la démonstration ne nécessitait pas de traiter à part les cas n=0 et n=1.
Mais bien sûr les traiter à part n'est pas une faute, même si c'est inutile.


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