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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Divisibilité de n(n-1)/2
Posté par Igurashii
Bonjour,
Je suis en train de résoudre cet exercice, et j'aurais besoin de votre aide pour la question c.
a) Justifier que n(n-1) est un entier pair et que n(n-1)/2 est un entier.
b) Montrer que si n est un carré (n=m2), alors cn= n(n-1)/2 est divisible par 2.
* Modération > coquille à rectifier : "par 3" au lieu de "par 2" *
Montrer que :
c)i) Si n est un carré pair, alors cn est divisible par 6
c)ii) Si n est un carré impair, alors cn est divisible par 6
c)iii) Si n est un carré divisible par 3, alors cn est divisible par 18.
Solution:
a/ Par récurrence.
P(n):"n(n-1) est un entier pair"
Pour n=1, n(n-1)=0 qui est bien un entier pair
Pour n un entier, on suppose P(n) vrai.
n(n+1)= n(n-1+1+1)
= n(n-1) + 2n
n(n-1) est pair par hypothèse de récurrence, et 2n est pair
Donc n(n+1) est pair.
Donc P(n+1) est vraie.
Par récurrence, P(n) est vrai pour tout n entier.
n(n-1)= 2k avec k entier
Donc n(n-1)/2= k est un entier.
b/ 2cn= n(n-1)= m2(m2-1)
= m2(m-1)(m+1)
Soit 3 divise m, soit 3 divise m-1, soit 3 diviser m+1.
Donc 3 divise 2cn, donc 3 divise cn.
c/i/ On a n= 2k= m2, k un entier
2cn= m2(m-1)(m+1)
= 2k(m-1)(m+1)
A partir d'ici je ne sais pas quoi faire.
J'ai aussi chercher à résoudre les questions d'après sans grands résultats.
Pouvez-vous vous m'aider?
Bonjour,
La récurrence me semble peu adaptée pour la question a).
Il suffit de regarder les deux cas, n pair et n impair.
Je corrige la coquille de l'énoncé de ton 1er message puis je regarde la suite.
Pour la a), utiliser une récurrence me semble excessif. D'autant que tu utilises un résultat similaire dans le 2) pour montrer que m(m-1)(m+1) est divisible par 3.
Au niveau bac + 2/3 tu peux utiliser directement des congruences modulo 2. Et si ce n'est pas le cas, il suffit d'écrire , et comme n est toujours de même parité que
, la différence est toujours paire.
Pour la b), ok
Pour la c), tu as déjà montré en b) que est divisible par 3 si n est un carré. Il s'agit maintenant de montrer qu'il est également divisible par 4 si n est pair (et donc m aussi)...
Il suffit de remplacer le premier m par 2p avec p un entier relatif et de diviser par deux puis de regarder ce qui reste
Pour c)i), si n = m2 avec m entier et n pair, alors m n'est pas impair.
D'où n = (2a)2 avec a entier.
Ça permet de terminer.
sinon pour la a) on peut également dire que n-1 et n sont deux entiers consécutifs donc nécessairement l'un des deux est pair, et donc forcément leur produit n(n-1) est pair (si on multiplie deux termes dont l'un est pair, on obtient toujours un produit pair)