Bonjour,

comme rien ne dépend de n là dedans ce n'est pas ça l'énoncé.

Ah erreur de recopie, il faut lire x₁ⁿ+x₂ⁿ

il n'est pas difficile de prouver que c'est toujours un nombre entier avec la formule du binome (a+b)ⁿ
mais je doute que cette formule soit connue en seconde en France...

et resterait de toute façon à prouver que ce n'est jamais divisible par 5 ...

autre piste : faire intervenir une suite récurrente d'ordre deux
Un = 6U_n-1 - U_n-2

pour laquelle on démontre que les termes sont U_n = ar₁ⁿ + br₂ⁿ
avec a et b déterminés par les valeurs initiales U₀ et U₁
pour avoir a=b=1 il faut U₀ = a+b = 2 et U₁ = ar₁ + br₂ = r₁ + r₂ = 6

ce qui donne la suite des r₁ⁿ+r₂ⁿ = 1, 6, 34, 192, etc

puis prouver par récurrence que les U_n ne sont jamais divisible par 5

théorie qui est largement au delà du niveau seconde (c'est Terminale à condition d'être guidé par des questions précédentes)

alors ???
des questions précédentes dans un énoncé dont tu ne donnes qu'un petit bout ??
niveau seconde alors que c'est licence ?

petite erreur de recopie/calcul
* ce qui donne la suite des r₁ⁿ+r₂ⁿ = 2, 6, 34, 198, etc
mais la question n'est pas là. ça ne change rien aux sortes de calculs qu'il faut faire.

C'est l'exercice 953 d'un cours de 2e (cours Maillard de G. Girard et A. Lentin chez Hachette) édition 1962 et tu peux vérifier, Mathafou, que le texte de l'énoncé est complet. Mais peut-être que le niveau n'est pas de seconde.

Edition 62 ce n'est plus les programmes de maintenant !!

peut être chercher du côté des "fonctions symétriques des racines"

r₁ⁿ + r₂ⁿ est une telle fonction symétrique et peut toujours s'exprimer quel que soit n en fonction de S = r₁ + r₂ = 6 (= -b/a) et de P = r₁r₂ = 1 ( = c/a)

écrivons (r₁ⁿ + r₂ⁿ)(r₁ + r₂) = r₁ⁿ⁺¹ + r₂ⁿ⁺¹ + r₁ⁿr₂ + r₁r₂ⁿ = r₁ⁿ⁺¹ + r₂ⁿ⁺¹ + r₁r₂(r₂^n-1 + r₁^n-1)

si j'appelle A_n = r₁ⁿ + r₂ⁿ pour tout n
cela s'écrit
SA_n = A_n+1 + PA_n-1
ou encore A_n+1 = SA_n - PA_n-1 = 6A_n - A_n-1

on retrouve la récurrence mentionnée précédemment, obtenue par des moyens niveau "seconde" d'antan (niveau bonne première de maintenant et encore, pas sûr que la somme et produit des racines soit encore dans le cours, et pas relégué à titre d'exercice optionnel)

avec A₀ = 2 (r₁⁰ + r₂⁰ = 1 + 1 = 2)
et A₁ = r₁ + r₂ = 6

ceci prouve que A_n est toujours un nombre entier (car somme et produits de nombres entiers, de proche en proche par récurrence)

démontrons que ce ne sont jamais des multiples de 5

les deux premiers sont 2 et 6 et ne sont pas des multiples de 5
on va calculer en fait des restes de divisions par 5

calculons de proche en proche les restes de la division par 5 des A_n
ce reste ne dépend que des restes de la division par 5 des deux A précédents A_n-1 et A_n-2

chaque reste ne peut prendre que 5 valeurs différentes : 0 à 4

les calculs s'achèveront donc au bout d'un temps fini par une périodicité de la suite des restes

on fait les calculs des restes sans nombres astronomiques à partir des restes précédents et pas à partir des valeurs de A_n précédents (qui augmentent très vite) par la même récurrence mais sur les restes

R_n = Reste de la division de 6R_n-1 - R_n par 5
R₀ = reste de 2 = 2
R₁ = reste de 6 = 1


comme j'ai la flemme de faire ça à la main, je le fais faire par ma calculette (ou Algobox) :

R[0] = 2
R[1] = 1 (le reste de 6)
R[2] = 4 (le reste de 34)
R[3] = 3 (le reste de 198) etc
R[4] = 4
R[5] = 1

et ils se répètent ensuite :
R[6] = 2
R[7] = 1
R[8] = 4
R[9] = 3
R[10] = 4
R[11] = 1

les restes se répètent donc selon la séquence périodique 2, 1, 4, 3, 4, 1
et ne sont donc jamais nuls.

la démonstration est juste ce calcul des restes jusqu'à R₇ car ensuite c'est forcément les mêmes :
ils ne dépendent que des deux restes précédents :
la suite de restes à partir de R₀ = 2, R₁ = 1
seront donc la même que à partir de R₆ = 2, R₇ = 1

Bonjour.

@Mathafou... sans être iconoclaste, des deux citations :

la discussion sur le sujet serait sans fin

pour moi mon sentiment est que ce problème posé tel quel sans aucune question intermédiaire ni guide nécessite "du métier" et des connaissances qui sont du niveau licence (au moins "Terminale doué") pour imaginer des stratégies conduisant à la résolution du problème.

quand on voit la rédaction de certains énoncés de maintenant, même en Terminale, où chaque opération à faire est détaillée à outrance une par une et question par question, laissant les élèves sans aucun besoin de prise d'initiative, on comprend qu'un tel problème est largement au dessus de la tête des élèves de seconde actuels.

l'était il même seulement en 1962 ? aucune idée.
et d'ailleurs je n'ai pas gardé mes bouquins de maths de l'époque en algèbre (des Lebossé-Hémery)

d'ailleurs ce n'est que mon sentiment personnel, suite à ma propre imagination de méthodes pour résoudre cet exo compte tenu de mes propres connaissances.
rien ne permet d'affirmer qu'il n'y aurait pas d'autres méthodes plus "accessibles", pourquoi pas à un niveau inférieur.
en tout cas je n'en ai pas trouvé.
la plus simple que j'ai imaginée est dans mon dernier message.

de toute façon j'en doute puisque même la résolution d'une équation du second degré n'est pas au programme de seconde (actuel)
alors ne parlons même pas de fonction symétrique des racines ni même de la simple somme et produit des racines d'une telle équation ...

Quant à l'évolution des programmes elle est guidée par des considérations du genre taux de réussite à un examen d'après le nom de cet examen et non pas son contenu réel, au prétexte d'une prétendue "égalité" post 68arde.

salut

je n'étais pas intervenu parce que mathafou avait tout dit dans son premier post  mais d'un très bon niveau pour un niveau affiché de seconde

j'étais plutôt parti sur l'idée de son deuxième post mais à niveau pas à un tel niveau (fonctions symétriques élémentaires) mais plus naïvement

si u et v sont les racines du trinome alors

donc

ensuite puisque

PS : j'utilise la notation "congruence" qui n'est qu'une notation pour dire queque chose en français ou en mathématique mais qui a un réel avantage dans l'écriture vu ses propriétés de compatibilité avec l'addition et la multiplication


ensuite par récurrence ... plus ou moins comme dans son premier post

le pb ici c'est que "ne pas être multiple de 5" signifie vérifier quatre cas à chaque étape (que l'on prouve une fois dans la récurrence bien sur)


maintenant pour en revenir à ta question bbomaths :

il faut distinguer l'évolution des outils numériques (de la règle à calcul à ces machines si puissantes de maintenant) de l'évolution de l'exercice intellectuel ...

et malheureusement les deux obéissent à des puissances économiques et politiques dont l'objectif premier n'est pas l'humain : autant pour les "biens matériels" l'efficacité, le coût (discutable) de l'outil, les performances répondent aux critères "politico-économiques" naturels des sociétés occidentales  autant ces critères sont contradictoires avec l'humanisme et la philosophie qu'est la formation intellectuelle d'un jeune

on ne demande pas d'avoir du génie ou de la créativité de l'imaginaire (comme cela a été le cas dans les trente glorieuses où il a fallu tout reconstruire et où on a apporté un réel progrès humain et matériel on ne de mande que de savoir faire et réciter/répéter ... pour être employable !!!


tiens cliquer sur le moteur de recherche de google et regarder ce qu'il fête aujourd'hui ....


pour finir un exemple concret :

pour le calcul des proba avec une loi normale les dernières machines affichent (en gros) le menu :

borne  infé.. :
borne sup... :
moyenne  :

écart type ::

et en core parfois c'est en anglais et même ce n'est (peut-être) pas moyenne et écart type mais les symbole et

et parfois c'est en anglais (lower et upper) et tellement ils sont bêtes, ils ne travaillent pas qu'ils ne comprennent rien à quelque chose d'aussi élémentaire

ainsi certains même calculent 1 - P(X < a) pour P(X > a) alors qu'on leur a bien dit qu'il faut toujours deux bornes !!!

PS : ils sont bêtes ...tout simplement parce qu'ils ne veulent pas ne pas être bêtes à l'école !!!
parce qu'ils ne le sont pas mais l'école n'a plus aucune valeur, ce qui compte c'est d'avoir un diplôme pour ... (ce qui montre que ce diplôme n'a pas nécessité de refléter des connaissances, capacités et compétences mais doit servir à ...)

donc oui un élève de seonde des années 60 vaut largement un licence de maintenant par son génie, sa créativité et son imaginaire à résoudre des problèmes ardus que beaucoup ne savent plus résoudre maintenant

salut,
le bac 1963 et le bac 2016
Il faudrait comparer le nombre de candidats en 63 et en  2016

@carpediem
"donc oui un élève de seonde des années 60 vaut largement un licence de maintenant par son génie, sa créativité et son imaginaire à résoudre des problèmes ardus que beaucoup ne savent plus résoudre maintenant"
tu devrais faire de la politique
On cherche un ministre de l'education

enfin la somme et le produit des racines c'est du génie de troisième puisque simplement ce qu'on appelle (appelait ?) la double distributivité :

une fois développer (a + b)(c + d) puis (a + a)(x + b) puis (x - u)(x - v) ... il n'y a pas besoin d'être Einstein ... mais il est vrai que ... c'est de moins en moins évident au lycée (surtout comme le remarque mathafou quand on passe par des "formules" ... alambiquées ...)

quand à la preuve que u^n + v^n c'est relativement évident ... avec le binome de Newton ... mais qui effectivement est au delà du lycée

sans cela à nouveau une récurrence est lourde : écrire

en spé éventuellement passer par un système matriciel peut peut-être faciliter les choses ...

quant à la récurrence pour moi il n'y en a qu'une seule : tout dépend de ce que je mets dans la proposition ""P(n)""

certains parlent de récurrence ""d'ordre 2", ""à deux pas"", ... ce n'est que des formulation pour expliquer les choses (au moment de sa découverte et son apprentissage)

ici il est évident que la récurrence est communément appelée "d'ordre 2" puisqu'elle nécessite les deux précédents


et effectivement ce n'est pas évident à rédiger correctement et simplement en essayant de rester à un niveau lycée ...

je serais curieux de voir le corrige de 1960

la preuve de uⁿ+vⁿ passe à mon avis plutôt par la méthode que j'ai donnée (avoir l'idée de calculer (uⁿ+vⁿ)(u+v) = etc)
qui est du même ordre de grandeur au niveau conceptuel que de passer par la forme factorisée du trinome pour la somme et produit des racines plutôt que de passer par les valeurs de ces racines.

par contre l'idée de passer par un calcul, matriciel ou pas, pour exprimer explicitement uⁿ et vⁿ en termes de An Bn35 (An et Bn des demi-entiers) et ensuite uⁿ+vⁿ = 2A_n a un avantage sympa :

on remplace la récurrence d'ordre deux (dépendant des deux termes précédents) par une récurrence d'ordre 1 (ne dépendant que d'un seul terme précédent) sur deux variables "liées"
ce sera bien plus facile à rédiger !!

cette méthode là (passer par l'écriture explicite en 35) risque plus d'être du niveau seconde que d'imaginer des relations qui semblent tirées d'un chapeau, motivées par la paresse d'écrire des trucs compliqués en profitant d'une "théorie" plus "complexe" (hum)

@bbomaths

mathafou : revoir ton

oui, oui, la résolution de tête d'une équation du second degré en pensant à autre chose ça donne ça
(c'est racine de 2 et j'aurais même pu le copier-coller de ton message au lieu de le recalculer de travers )

@alb12 : j'ai trouvé cela :

http://histoiredechiffres.free.fr/pedagogie/Histoire%20EN.pdf

Un extrait :

Pour le fun,  3 extraits de ce livre pour le Brevet Élémentaire donc à priori niveau de fin de 3eme.

les exo de la page 227 sont intéressants ... mais je suis persuadé que bon nombre de TS sont incapables de les faire ...

ce qui serait interessant c'est de demander aux eleves de 1930 d'ecrire
un algorithme pour calculer le 1930 ieme terme d'une suite recurrente
ou bien de trouver un intervalle de fluctuation
ou bien de  de calculer la probabilite d'avoir au moins un 6 avec 4 des
etc

Ne jamais oublier qu'en 1967 le pourcentage d'eleves
obtenant le bac dans une classe d'age etait de l'ordre de 6 ou 7%
ce qui relativise la notion de baisse de niveau

demandons aussi aux étudiants de 1515 de piloter un avion ... ou même de conduire une voiture de maintenant ...

soyons sérieux ...

de plus la capacité à exécuter une recette n'est pas la capacité à penser !!! et la mathématique n'a pas d'autre objectif (pour un jeune que l'on construit, je ne parle pas du point de vu professionnel et économique)

et cet exercice de la pensée se dispense de machine : le paradoxe des jumeaux en physique en est un exemple puisqu'il n'est que théorique et le fruit de la pensée et d'une théorie)

Tous les etres vivants sont soumis à la meme regle: s'adapter ou mourir ....
en mathematique comme en politique.

"de plus la capacité à exécuter une recette n'est pas la capacité à penser"
j'ai un bouquin d'exercices de terminale de 1930, tous les exercices sont du meme genre,
les eleves appliquaient des recettes, celles du programme.
Sauf ceux qui allaient devenir prof de maths. Rien de nouveau.

c'est certain que j'ai entre autre appris des recettes par la répétition d'exercices identiques : à un certain moment certaines opérations ou résolution de pb ""caratéristiques" doivent le devenir pour se concentrer sur le cœur du pb où ils peuvent apparaître ...