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Division de polynômes

Posté par
pppa 22-01-24 à 21:04

Bonjour

On demande
1/ de trouver le reste de la division  de x^{n} - a^{n}   par x^{p} - a^{p}    (n > p)

2/ de montrer que  x^{n} - a^{n}   est divisible par x^{p} - a^{p}    si et seulement si  n est divisible par  p

Mes recherches :

pour la question 1 , en simplifiant numérateur et dénominateur par (x - a), je pose la fraction :

\frac{\sum_{0}^{n-1}{a^{i}}.x^{n-(1+i)}}{\sum_{0}^{p-1}{a^{i}}.x^{p-(1+i)}}

et je trouve comme reste  :  R = \sum_{p}^{n-1}{a^{i}.x^{n-(i+1)}},  avec comme quotient Q = x^{n-p}.

Pour une poursuite éventuelle des calculs (si ceux auxquels j'ai abouti sont bons ??), il faudrait que n \geq  2p  (compatibilité des degrés) et pour tenter d'amorcer la question 2, en posant n = 2p, je ne vois pas comment rendre nul le reste.

Merci par avance pour votre aide en vue de trouver les réponses complètes à ce problème.

Posté par
GBZMre : Division de polynômes 22-01-24 à 21:59

Bonsoir,

Il vaut mieux commencer par

\large x^n-a^n= x^{n-p}(x^p-a^p) +a^p(x^{n-p}-a^{n-p})
Comme cela, ne vois-tu pas mieux comment continuer ?

Posté par
pppare : Division de polynômes 22-01-24 à 23:23

Bonsoir GBZM,

merci pour la piste que tu proposes.
L'idée serait de transformer le deuxième terme du second membre de l'égalité en faisant apparaître le facteur x^{p} - a^{p}, de façon à pouvoir écrire le second membre avec  x^{p} - a^{p} comme facteur commun, auquel cas la divisibilité serait établie, mais après plusieurs essais,  je ne vois pas comment faire cette transformation.

Est-ce la bonne voie à suivre ?

Posté par
lakere : Division de polynômes 23-01-24 à 01:28

Bonsoir pppa,


Citation :
\large x^n-a^n= x^{n-p}(x^p-a^p) +a^p(x^{n-p}-a^{n-p})


On peut continuer :

  
\large x^n-a^n= x^{n-p}(x^p-a^p) +a^p\underbrace{(x^{n-p}-a^{n-p})}_{x^{n-2p}(x^p-a^p)+a^p(x^{n-2p}-a^{n-2p})}*

Si on insiste, on obtient des puissances successives n-3p, n-4p \cdots pour le dernier terme.

si n=pq+r avec 0\leq r<p, on s'arrêtera à la puissance n-pq=r et le dernier terme (le reste)  devrait ressembler à a^{pq}(x^r-a^r)

Posté par
GBZMre : Division de polynômes 23-01-24 à 10:14

Lake, tu as pratiquement vendu (et même donné) la mèche ...

Posté par
pppare : Division de polynômes 23-01-24 à 19:02

Bonjour et un grand merci à vous deux.

Lake, tu m'auras permis d'avancer à grands pas, je pense qu'il m'aurait fallu quelque temps pour avoir ce second déclic qui développe et achève la démonstration.

Cette démonstration, je l'ai réécrite en détail, espérant l'ancrer plus fortement dans ma mémoire, pour me 'l'approprier' et me familiariser avec ce type de réflexe permettant de développer de telles subtilités.

Ces éléments de solutions, donnés de façon compacte, m'ont bien sûr été utiles ; ils le seront aussi pour des personnes qui dans l'avenir pourraient rencontrer un problème similaire, merci pour elles.

Tant qu'on y est, je me permets de répondre explicitement à la deuxième question.

Si n est divisible par p, alors on a n = pq (q, entier naturel non nul), et r est nul, par conséquent x^{r} = a^{r} = 1, et le dernier terme du développement est nul, on a donc bien :

x^{n} - a^{n}  =  (x^{p} - a^{p}). S(x).

Encore merci pour votre aide précieuse.

Philippe

Posté par
Ulmierere : Division de polynômes 23-01-24 à 20:00

Pour la rédaction, tu peux aussi poser carrément la division euclidienne

Citation :
\begin{tabular}{c|c} \\ $x^n - a^n$ & $x^p - a^p$ \\ \cline{2-2} \\ $-(x^n-a^px^{n-p})$ & $x^{n-p}$\\ \\ $a^px^{n-p}-a^n$ & \\ \end{tabular}

Si n-p < p, ie n < 2p, alors la division est finie
Sinon on recommence

\begin{tabular}{c|c} \\ $a^px^{n-p} - a^n$ & $x^p - a^p$ \\ \cline{2-2} \\ $-(a^px^{n-p}-a^{2p}x^{n-2p})$ & $a^px^{n-2p}$\\ \\ $a^{2p}x^{n-2p}-a^n$ & \\ \end{tabular}

Si n-2p < p, ie n < 3p alors la division est finie
Sinon on recommence ...

Il existe un plus petit q > 1 tel que n < qp. Pour ce q, la division euclidienne donnera un quotient dont on se fiche (somme de tous les précédents) et un reste égal à a^{qp}x^{n-qp}-a^n. Par définition de q, cela s'écrit aussi a^{qp}(x^r - a^r), où r est le reste de la division euclidienne de n par p.

Ce reste, polynomial, est nul
si et seulement si l'exposant sur le x (notre indétreminée) est nul
si et seulement si p divise n



C'est exactement la même chose, mais peut-être un peu plus clair au niveau "reprise d'études"

Posté par
lakere : Division de polynômes 23-01-24 à 20:42

Bonsoir Philippe,
GBZM n'avait rien fait d'autre que d'amorcer cette "division".
J'avais pensé que la compléter t'aiderait.
Ceci dit, je pensais te parler de cette "division manuelle". Je suis certain que tu l'as déjà pratiquée à d'autres occasions.
Ulmiere m'a devancé.
Porte toi bien

Posté par
pppare : Division de polynômes 23-01-24 à 22:13

>> Ulmière
Merci pour ton intervention très pédagogique et qui décompose bine la méthode.

>> Ulmière + Lake

mes modestes compétences me permettent de pratiquer la division euclidienne de polynômes en me trompant rarement. C'est d'ailleurs la première piste que j'avais suivie, mais j'ai compliqué les choses en simplifiant numérateur et dénominateur par (x - a), puis en développant la fraction que j'ai mentionnée en écriture indicielle dans mon premier message. Arrivé à la fin de la première étape, j'avoue que j'étais un peu perdu, d'où mon intervention sur le site, qui s'avéra fructueuse.

Pour finir, je me jette quelques fleurs fanées ; j'avais tout de même le bon quotient à la fin de la première étape.

Encore une fois, un grand merci pour vos aides précieuses

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Division de polynômes 24-01-24 à 08:55

Bonjour,
J'arrive après la bataille...
Plutôt que des divisions successives, ne peut-on pas utiliser la division euclidienne de p par q puis écrire les égalités ci-dessous ?
xn - an = xpq+r - apqxr + apqxr - apq+r = (xpq - apq)xr + (apqxr - apq+r)
où n = pq+r.
xpq - apq \; se factorise par \; xp - ap .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Division de polynômes 24-01-24 à 09:01

En fait, c'est l'égalité de GBZM avec pq au lieu de p :

\large x^n-a^n= x^{n-pq}(x^{pq}-a^{pq}) +a^{pq}(x^{n-pq}-a^{n-pq})

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Division de polynômes 25-01-24 à 08:12

Oups : la division euclidienne de n par p

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Division de polynômes 26-01-24 à 08:00

Bonjour,
Je repose ma question restée sans réponse :
Ne peut-on pas utiliser la division euclidienne de n par p puis écrire les égalités ci-dessous ?
xn - an = xpq+r - apqxr + apqxr - apq+r = (xpq - apq)xr + (apqxr - apq+r)
où n = pq+r.

Posté par
Ulmierere : Division de polynômes 26-01-24 à 12:56

On peut, avec la formule du binôme dire que

x^{pq} - a^{pq} = (x^p)^q - (a^p)^q = (x^p-a^p) \times \underbrace{\sum_{k=0}^{q-1}x^{p(q-k-1)}a^{pk}}_{A(x)}

A est un polynôme de degré p(q-1). Si on appelle Q(X) = A(X)X^r on obtient un polynôme de degré n-p. En posant R(X) = a^{pq}X^r - a^{n}, on a X^n-a^n = (X^p-a^p)Q(X) + R(X) avec deg(R) < p.

C'est effectivement la division euclidienne de X^n-a^n par X^p-a^p pour le stathme du degré, de quotient Q et de reste R

Posté par
Ulmierere : Division de polynômes 26-01-24 à 12:57

J'ai parlé de formule du binôme, mais en fait pas besoin

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Division de polynômes 26-01-24 à 16:58

Merci Ulmiere pour ton message.
Je considère que tu réponds oui à ma question même si ce n'est pas explicité.
J'avais un doute car j'étais étonnée de trouver une démonstration aussi simple après les cheminements proposés.

Il me semble inutile de parler du degré de \; (xpq - apq)xr .
Le degré de \; apqxr - apq+r \; suffit pour justifier que c'est bien le reste demandé.
Quant à la factorisation de \; xpq - apq \; par \; xp - ap , il suffit de poser \; y = xp \; et \; b = ap \; pour se ramener à la factorisation de \; yq - bq \; par \; y - b .


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