ivision euclidienne de polynomes
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Niveau Master
Division euclidienne de polynomes
Posté par fade2black
Bonjour, ou re-bonjour !
Encore un exercice sur les polynômes, le dernier de la soirée...
On me demande de montrer que le reste de la division euclidienne de X^n-1 par X^m-1 est X^r-1, si r est le reste de la division euclidienne de m par n dans 
.
Je ne vois pas du tout comment commencer. Dois-je m'intéresser au racines énième de l'unité ? Ou trouver une solution plus "arithmétique" ?
Salut 
On écrit la division euclidienne de n par m: n=qm+r.
Alors X^n-1=(X^m)^q*X^r-1= (X^m-1+1)^q*X^r-1.
Je te laisse le soin de développer et de conclure.
Ensuite, je dois déduire que le pgcd de X^n-1 et de X^m-1 est X^d-1, où d est le pgcd de m et n. Pour ça, j'ai écrit l'algorithme d'Euclide pour m et n, et en prallèle j'ai écrit l'algorithme d'Euclide pour X^n-1 et X^m-1. Ca marche mais je ne trouve pas ça très satisfaisant. Y a t-il un autre moyen de faire ?
Bonjour,
J'aimerai effectuer la division euclidienne de (X^n)-1 par (X^m)-1.. Pour cela dois je effectuer la division de n par m ?
Merci d'avance.
Bonsoir,
On peut écrire: Xn-1 = Xmq+r-1 = (Xmq-1)Xr+(Xr-1)
=(Xm-1)(Xm(q-1)+...+Xm+1)+(Xr-1).
Donc le reste de la division de Xn-1 par Xm-1 est bien Xr-1 puisque : deg(Xr-1)< deg(Xm-1).
Merci,
Mais alors dans ce cas, on a que Xn-1 divise Xm-1 seulement si n divise m .. ?
C'est ce que je ne comprends pas,car n ne divise pas forcément m (ce n'est pas donné dans l'énoncé en tout cas)
Bonjour,
Je connais un autre moyen :
On va déterminer le pgcd de Xn-1 et Xm-1 dans C[X] :
les facteurs communs irréductibles sont les X -a où a est une racine n ième et m -ième de l'unité.
nu + mv = d montre que a est alors une racine d ième de 1 et réciproquement , donc Xd-1 est le pgcd cherché dans C,
mais comme il est à coefficients dans Z c'est aussi le pgcd sur Z .
Bonsoir,
Bravo lolo271, la méthode est astucieuse mais le réciproquement mérite un petit développement à mon avis.On peut s'en tirer en utilisant, grâce à la théorie des groupes, la propriété des racines nièmes de l'unité suivante:
Si on appelle Un le groupe multipicatif des racines nièmes de l'unité on a :
UmUn= Ud où d=pgcd(m,n)