2) Le chiffre des unités est le reste de la division par 10. Tu cherches le résultat de la congruence modula 10.
3) a est congru à 0,1,2 ou 3 modulo 4, donc a² ...

Merci pour votre réponse mais je n'ai pas compris pour la question 2.
Serait-il possible d'illustrer avec un exemple SVP?

Tout entier naturel est congru  modulo 10 à son chiffre des unités.
Exemple :
, donc

2/ Déterminer le chiffre des unités de 12367 ^ (2012)
Donc ici on fait :
1236*10 + 7
donc : 12367 congru à 7 modulo 10

Mais pour les puissances on fait comment?

Enumère la succession des puissances de 7 modulo 10. Le résultat étant toujours compris entre 0 et 9, il y aura obligatoirement une répétition, donc ensuite une périodicité. Déduis en par récurrence une formule générale que tu appliques à la valeur 2012.

C'est vraiment catastrophique, je ne comprends rien, n'y aurait-il pas possibilité de résoudre et de m'expliquer l'exercice en détails svp ?

Merci beaucoup pour votre aide !

Si tu disais plutôt à partir d'où tu ne comprends pas, ça serait plus facile pour t'aider. Résoudre à ta place n'est pas forcémént la meilleure idée pour progresser.

Tu sais que 12367 congru à 7 modulo 10 . Il te faut donc trouver à quoi est congru 7²⁰¹² modulo 10 (théorème sur l'élévation à une puissance d'une congruence).
7¹=77(10)
7²=499(10)
Ensuite on obtient les puissances successives en multipliant la congruence précédente par 7:
7³9.7=633(10)

Continue et observe.

En fait je ne comprends pas la phrase "déterminer le chiffre des unités".. Qu'est ce que ça veut dire exactement? Parce que pour moi c'est le dernier chiffre d'un nombre.
Sinon pour poursuivre le calcul:
7^1 = 7 congru à 7 modulo 10
7^2 = 49 congru à 9 modulo 10
7^" = 343 congru à 3 modulo 10
7^' = 2401 congru à 1 modulo 10

Comme : 2012 = 4 * 503
On a :
12367^2012 = 7^2012 [10]
= 7^4*503[10]
= (7^4)^503 [10]
= (1)^503 [10]
= 1 [10]

Ca je sais faire, mais je ne vois pas le rapport avec la question.
Je pense que c'est plus une question de compréhension de ce qui est demandé ici ^^.

Le chiffre des unités, c'est le dernier chiffre du nombre. On apprend ça tout petit, non ?
Comme les autres chiffres sont les dizaines, les centaines, ... quand on divise par 10, le reste est le chiffre des unités. Si pour toi le message de Robot n'est pas clair, prend des exemples, pose les divisions. Cela veut dire qu'un nombre est congru à son dernier chiffre modulo 10. Si donc tu trouves à quoi est congru un nombre modulo 10, tu as trouvé son dernier chiffre.
Tu n'as pas compris (pas lu ?) ce que j'ai expliqué pour poursuivre le calcul des puissances de 7 modulo 10. Pour 7³ il est inutile de multiplier 49 par 7, il suffit (théorème sur les congruences, as-tu bien lu ton cours ?) de remplacer 49 par sa valeur modulo 10, c'est à dire 9. 9x7=63 et tu trouves donc 3 modulo 10. Pour 7⁴ tu ne repars pas de 343, mais du dernier résultat obtenu, 3 . 3x7=21 et tu trouves donc 1. Ça ne change pas le résultat, mais c'est plus simple: c'est là l'intérêt des congruences.
La suite de ton raisonnement est juste, et la réponse est donc 1.
Le rapport avec la question est ce que j'ai expliqué plus haut: trouver le dernier chiffre d'un nombre, c'est trouver à quoi il est congru modulo 10.

Oui je connais le principe des congruence, je sais pas pourquoi je suis passée par là. Le principal c'est qu'à la fin j'ai le bon résultat Avec un peu plus de temps .. ^^.
Bref, sinon j'ai bien dit que je savais ce qu'était le chiffre des unités.
C'était une explication par rapport à mon cas, donc "Cela veut dire qu'un nombre est congru à son dernier chiffre modulo 10. Si donc tu trouves à quoi est congru un nombre modulo 10, tu as trouvé son dernier chiffre. " me suffisais .
Maintenant j'ai compris et c'est bien ancré !
Merci beaucoup !!!!!!!

3/ Soit a un entier. Calculer, selon le reste de la DE de a par 4, a² modulo 4. En déduire qu'il n'existe pas d'entiers x et y tels que x² + y² = 20003

Pour la troisième et dernière question, comme fait on pour calculer la DE de a par 4?
Je sais le faire avec des chiffres mais avec des a etc. c'est pas possible d'avoir un résultat, 4 peut diviser a oui mais on ne pourra pas savoir le dividende et le reste?  

Voir ma première réponse ...