Bonsoir pierrot72

je crois savoir comment résoudre ton exo mais je n'utilise pas le théorème de Bezout. par contre, j'utilise le théorème de Gauss.

Montrons d'abord l'injectivité.
Soient p et q des diviseurs de n et p' et q' des diviseurs de m tels que pp'=qq'.
D'abord, il est évident que comme n et m sont premiers entre eux, alors tout diviseur de n est premier avec tout diviseur de m.
Donc en particulier, p et q' sont premiers entre eux (de même que p' et q).
L'égalité précédente assure que p divise qq'. Or p et q' sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, p divise p'.
De même, p' divise p. comme p et p ' sont positifs, alors p=p' (je suppose que D(n) est l'ensemble des diviseurs positifs de n).
On en déduit que q=q', d'où l'injectivité de f.

Kaiser

Merci Kaiser
C'est à peu  près ce que j'avais réussi à faire, mais le problème vient bien de Bezout que je ne vois pas comment utiliser.

En tout cas merci beaucoup

Mais je t'en prie !

Je ne comprends pas : pourquoi et où veux-tu appliquer Bezout ?

Pourquoi ? Parce qu'on me le demande ! "Il faudra utiliser Bezout"

et je vois franchement pas !

et où ? Pour montrer la bijection

Maintenant, la surjectivité de f.
Soit p un diviseur de mn.
On pose d=pgcd(p,n) et d'=pgcd(p,m) et on va montrer que dd'=p.
Par définition de d et d', d et d' divisent p.
Et comme d et d' divisent respectivement n et m qui sont premiers entre eux, alors d et d' sont premiers entre eux, d'où dd' divise p.
Ainsi, il existe un entier naturel k tel que p=kdd'.
Montrons que k=1.
Supposons par l'absurde que k est supérieur ou égal à 2. On en déduit que k admet un diviseur premier q.
Comme q divise k, alors q divise p, et comme p divise mn, alors q divise mn.
Or comme q est premier, alors q divise m ou q divise n (d'après le lemme d'Euclide), mais pas les deux.
Par exemple, q divise m (et donc q est premier avec n)
qd divise kd (car q divise k), alors qd divise p, donc qd divise mn.
Or q et d sont premiers avec n, donc qd aussi, et donc d'après le théorème de gauss, qd m.
or qd divise aussi p, donc qd divise pgcd(p,m)=d, ce qui est absurde car qd>d (car d est au moins égal à 2),d'où k=1 et on a bien p=f(d,d'), d'où la surjectivité de f.
Désolé, mais je n'ai utilisé nulle part le théorème de Bezout.

Merci beaucoup de ton aide Kaiser
Si jamais tu as une illumintation avec Bezout n'hésite pas...

Bonjour pierrot72

Désolé, toujours pas d'illumination pour Bezout !!
Quoi q'il en soit pour démontrer la relation suivante, considère l'application qui va de D(n) dans D(n) et qui à un diviseur d, associe .
Pour la dernière, Il suffit de remarquer que tout diviseur de s'écrit avec k appartenant à {0,1,..,a}.

Kaiser

bonjour, désolé de faire remonter un si vieu sujet mais je ne vois pas quoi faire avec l'application de d(n) dasn d(n) décrite par kaiser qlqun pourrait il m'aider svp ?

bonjour
cette partie me pose aussi problème
merci pour votre aide