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Niveau seconde
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DM 2nd

Posté par
Axelle218 13-09-16 à 18:30

Bonjour,

Je suis en seconde et j'ai un DM de maths ou je n'y arrive pas.
Merci de bien vouloir m'aider !

Sujet :

1- K est un nombre entier non nul ; montrez que :
1/k (k+1) = 1/k - 1/k+1      (1)

2- Calculez, en utilisant l'égalité (1), le nombre :
S = 1/1×2 + 1/2×3 + ..... + 1/9×10.

3- Soit n un nombre entier non nul.
a- Écrivez l'égalité (1) pour k= 1,2,5,n
b- En additionnant les égalité obtenues , monter que :
Tn = 1/1×2 + 1/2×3 + .... + 1/n (n+1) est égal à n/n+1

   / = barre de fraction

Mercii de votre aide

Posté par
Glapion Moderateurre : DM 2nd 13-09-16 à 18:32

1/(k (k+1)) = 1/k - 1/(k+1)

réduis 1/k - 1/(k+1) au même dénominateur

2) tu as essayé de remplacer les termes en utilisant la formule que l'on t'a fait trouver au 1) ?

Posté par
heklare : DM 2nd 13-09-16 à 18:34

Bonsoir

réduction au même dénominateur

\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 13-09-16 à 19:28

1/k - 1/k (k+1) = 1/k (k+1) - 1/k (k+1)   ???
2) oui j'ai essayer mais on peut pas trouver un résultat à la fin puisqu'on a des lettre

Posté par
heklare : DM 2nd 13-09-16 à 19:38

\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{k+1-k}{k(k+1)}

2) \dfrac{1}{1\times 2}= \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{2\times 3}= \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{3\times 4}= \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}
  
\dots

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 13-09-16 à 20:20

Merci mais je comprend pas ce qui faut mettre dans les pointillé

Posté par
heklare : DM 2nd 13-09-16 à 20:33

vous continuez ainsi jusqu'au dernier  et vous effectuez la somme

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 13-09-16 à 20:39

Donc

1/3×4 + 1/4×5 + 1/5×6 + 1/6×7  + 1/7×8 + 1/8×9 + 1/9×10 c'est ça ?

Pour additionner il faut réduire au même dénominateur ? Et il faut multiplier le dénominateur et le numérateur par le même nombre ?

Posté par
heklare : DM 2nd 13-09-16 à 20:47

\dfrac{1}{7\times 8}= \dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}

\dfrac{1}{8\times 9}= \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}

\dfrac{1}{9\times 10}= \dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}


\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dots+\dfrac{1}{8\times 9}+\dfrac{1}{9\times 10}= \\ \\ \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+ \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}+ \dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}

si l'on commençait par simplifier  ? que reste-t-il ?

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 13-09-16 à 20:50

Il resterai :

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 ?

C'est bon ?

Posté par
heklare : DM 2nd 13-09-16 à 21:08

???


\dfrac{1}{1}\underbrace{-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2}}_{0}\underbrace{-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}_{0}\underbrace{-\dfrac{1}{4}}_{0}+\dots+ \cancel{\dfrac{1}{8}}\underbrace{-\dfrac{1}{9}+ \dfrac{1}{9}}_{0}-\dfrac{1}{10}

reste donc la premier et le dernier

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 13-09-16 à 21:12

Mais c'est des plus pas des moindres entre chaque truc que tu m'a montrer !

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 13-09-16 à 21:16

Oui j'ai compris c'est bon du coup on fait :
1/1 - 1/10  = ??

Posté par
heklare : DM 2nd 13-09-16 à 21:24

je reprends avec les quatre premiers comme cela tous les calculs sont explicites  et cela ne change rien  pour la suite  que l'on aille jusqu'à 10 ou n+1

on vous demande de calculer

\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times4}+\dfrac{1}{4\times 5}

d'après la question 1 on peut écrire

= \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}

maintenant on peut remarquer que l'on a côte à côte un élément et son opposé

-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0

-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=0

-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=0

par conséquent

\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=1-\dfrac{1}{5}

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 13-09-16 à 21:28

Si l'on va jusqu'a 10 comme demander le résultat va être : 1-1/10 ?

Posté par
heklare : DM 2nd 13-09-16 à 21:29

oui bien sûr

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 13-09-16 à 21:38

Oui j'ai compris

Pour le 3 a) c'est

K=1 = 1/2
K=2 = 1/6
K=5 = 1/30 ( nombre choisi par moi ? )
K=n = 1/n (n+1)
C bon ?
Et pour le 3 b) je n'ai pas compris comment calculer Tn  ?

( Je vais devoir bientôt aller me coucher alors je regarderais sur ment votre réponse demain soir et je vous répondre et on reprendra ) Mercii pour le commencement de votre aide ☺😃

Posté par
heklare : DM 2nd 13-09-16 à 22:00

k=1  donc  \dfrac{1}{1\times 2}=1-\dfrac{1}{2}

k=2\quad \dfrac{1}{2\times 3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}

k=5\quad \dfrac{1}{5\times 6}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}

k=n\quad \dfrac{1}{n\times n+1}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}

je ne pense pas qu'il faille réécrire l'égalité du début  en ayant effectué le produit

calcul de T_n

\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dots+\dfrac{1}{(n-1)\times n}+\dfrac{1}{n\times (n+1)}= \\ \\ \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+ \dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}

c'est bien le même calcul que précédemment

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 14-09-16 à 18:41

Du coup au résultat il nous reste :

Tn = 1-1/10 différent de Tn = n/n+1 ( résultat de l'énoncé )

Posté par
heklare : DM 2nd 14-09-16 à 18:50

il faut prendre la dernière fraction  vous n'allez pas jusqu'à 10 mais jusqu'à n+1

c'est bien ce qui est écrit sur la dernière ligne du dernier message

donc T_n=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1} et c'est bien ce qu'il fallait trouver

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 14-09-16 à 18:57

Mais alors on met rien dans les pointillés ?

Parce que si on va jusqu'a 5 par exemple il y aura toujours un nombre tout seul et on pourra pas le supprimer !?

Posté par
heklare : DM 2nd 14-09-16 à 19:10

les pointillés signifient que l'on continue de la même manière  qu'avant et on reprend les deux derniers  pour bien montrer où l'on s'arrête
il sera supprimé avec un terme qui n'a pas été écrit mais qui l'eut été si l'on avait poussé plus loin l'écriture

jusqu'à 5 on pouvait écrire la somme explicitement ;  jusqu'à 10 on a déjà commencé à mettre des pointillés   et pour n+1 n'en parlons pas .

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 14-09-16 à 19:14

Ok d'accord !!

J'ai une petite question ?
Comment on fait une construction géométrique du réel V51 ?

V = racine carrée

Posté par
heklare : DM 2nd 14-09-16 à 19:37

\sqrt{51} ?

on prend un segment [AB] de longueur 52  on place le point O du segment [AB]  à une unité de A donc à 51 unités de B
on trace le cercle de diamètre [AB] la perpendiculaire en O à (AB) coupe le cercle en H
on a alors OH=\sqrt{51}

Posté par
Axelle218re : DM 2nd 14-09-16 à 20:23

Ok mercii beaucoup !
Voilà dm fini ! A bientôt surment ☺😃

Posté par
heklare : DM 2nd 14-09-16 à 20:34

de rien


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