Bonjour à vous tous
Je me présente je m'appelle Jules, j'ai 16 ans en classe de seconde et j'ai un bon niveau en maths. j'ai un DM à rendre pour vendredi (dans une semaine) et je n'arrive pas à répondre à la question 3 de l'exercice. J'ai demandé de l'aide à un ami qui a déjà passé son bac S, mais il n'a pas trouvé la réponse à la question 3, c'est pourquoi je me tourne vers vous.  Je vais écrire mes résultats de la question 1 et 2 pour savoir si elles sont justes, puis mon travail pour la 3.

Enoncé :
Dans cet exercice a et b sont deux réels strictements positifs.

je remplacerai racine carrée par §.
On définit :
- La moyenne arithmétique par m1 par m1 = (a+b)/2
- La moyenne géométrique par m2 par m2 =  §(a*b)
- La moyenne harmonique par m3 par m3 = 2(1/a + 1/b)

Question 1

Comparer (a+b)/2 et 2(1/a + 1/b)


Question 2

Comparer (a+b)/2 et §(a*b)


Question 3

Comparer 2(1/a + 1/b) et §(a*b)



1) (a+b)/2 - 2/(1/a + 1/b) = (a+b)/2 - (2a + 2b)/1
                           = (a+b)/2 - (4a + 4b)/2
                           = (-3a - 3b)/2
Or a et b sont strictements positifs, donc
m1 - m2 < 0 et donc m1 < m2


2) (a+b)² - 4ab = a² + 2ab + b² - 4ab
                = a² - 2ab + b²
                = (a-b)²
et comme a et b > 0
(a-b)² > 0
donc (a+b)² - 4(a+b)ab > 0
     (a+b)² > 4ab
      a+b > 2§(a*b)
     (a+b)/2 > §(a*b)


3) 2/(1/a + 1/b) - §(a*b) = 2a + 2b - §(a*b)
                          = 2(a+b) - §(a*b)

De là, je suis bloqué. Je ne trouve pas de facteurs communs et d'identités remarquables. Si vous pouviez m'aider, cela serait très aimable de votre part.
Merci d'avance.
Jules