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Niveau première
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Dm angle orienté

Posté par
camilla
16-12-11 à 19:31

On considère le cercle trigonométrique C associé au repère orthonormé (O;I;J), le point K de coordonnées (-1;0) et un réel x
. On place sur le cercle le point A tel que (vecteur KI; vecteur KA ) = x.
Le but de ce problème est de démontrer l'égalité sin 2x = 2sinx cosx

1) On suppose dans cette question que x appartient à l'intervalle {0; pi/2 ]
La perpendiculaire a [OA] passant par I coupe la droite (OA) en H.
a) démontrer que (vecteur OI;vecteur OA) =2x
b) démontrer que sin2x = IH
c) Démontrer que l'aire du triangle AKI est égale à 2sinx cosx
d) i) démontrer que l'aire du triangle AKI est le double de celui du triangle AKO
ii) en deduire que les triangles AKO et AOI ont la même aire, égale à IH/2
e) conclure.

Cette partie j'ai toute réussi à la faire mais après ça se complique et je n'y arrive vraiment pas

2) On suppose dans cette question que x appartient à l'intervalle [ pi/2 ; pi ]. On pose x' = x - (pi/2)
a) démontrer que : sin2x' = 2sinx' cos x'
b) en déuire que l'on a encore 2x = 2sinx cos x

3) On suppose dans cette question que x appartient [-pi ; 0 ] et on pose x'' = -x
a) Démontrer que : sin2x'' = 2sinx'' cosx''
b) en déuire que l'on a encore sin2x = 2sinx cos x

4) Démontrer que pour tout réel x , on a sin2x = 2sinx cos x

Si vous pouviez m'aider pour ces dernières question sa serait très gentil car je ne comprends vraiment pas. Merci d'avance

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 16-12-11 à 22:08

Bonsoir camilla

Tu as déjà démontré que sin2x = 2sinx cosx si x [0;/2]

Dans la partie 2), la valeur de x' est également dans l'intervalle [0;/2] (à montrer)
Tu peux donc appliquer à x' la formule précédente valable dans [0;/2].

Ainsi, on a bien : sin2x' = 2sinx' cosx'.

2b) Puisque sin2x' = 2sinx' cosx', on a : sin[2(x-/2)] = 2sin(x-/2)cos(x-/2).

Tu transformes sin[2(x-/2)], sin(x-/2)  et  cos(x-/2) en utilisant tes formules de trigo...

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 17-12-11 à 16:11

Mais on est dans l'intervalle [pi/2; pi] pour la question 2 non?

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 17-12-11 à 16:35

Oui, c'est bien ça !
x [/2;], mais x' [0;/2].

J'ai bien écrit dans mon message qu'il fallait le montrer et c'est assez facile

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 17-12-11 à 19:58

Mais je n'arrive pas à le montrer..

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 17-12-11 à 20:06

C'est pourtant simple

L'énoncé a défini x' par \large  x'=x-\frac{\pi}{2}
Donc

\large  x\in [\frac{\pi}{2};\pi] \Longleftrightarrow \frac{\pi}{2}\le x \le \pi\\\\\Longleftrightarrow \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\le x-\frac{\pi}{2} \le \pi-\frac{\pi}{2}\\\\\Longleftrightarrow 0\le x-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2}\\\\\Longleftrightarrow 0\le x' \le \frac{\pi}{2}    

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 15:32

Il faut résoudre les equations suivantes dans l'intervalle ]-pi ; pi [
1) 2cosx + 3 = 2
2) sin²x - sin x = 0
3) cos x = sin(x- pi/3)
4) 2cos²x - 3cosx - 2 =0

J'ai réussi toutes les equations sauf la 3 que je trouve vraiment cmpliqué. Merci de bien vouloir m'aider.

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 17:37

J'espère que tu as terminé les questions de 1) à 4)...
S'il y a encore un problème, fais signe.

Voici les réponses des équations que tu dis avoir résolues.

1)\ x = -\frac{2\pi}{3}\ \ ou\ \ x = \frac{2\pi}{3}\\\\2)\ x = 0\ \ ou\ \ x = \frac{\pi}{2}\\\\4)\ x = -\frac{2\pi}{3}\ \ ou\ \ x = \frac{2\pi}{3}.

Pour l'inéquation 3), tu connais certainement cette formule : \large  sin(a) = cos(\frac{\pi}{2}-a).

Tu appliques cette formule en rempaçant a par \large  x-\frac{\pi}{3}

Ainsi  
sin(x-\frac{\pi}{3}) = cos[\frac{\pi}{2}-(x-\frac{\pi}{3})]\\\\sin(x-\frac{\pi}{3}) = cos(\frac{5\pi}{6}-x).

L'équation s'écrira alors : \large  cosx = cos(\frac{5\pi}{6}-x).

Tu pourras ainsi continuer à résoudre cette équation en cos.

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 20:35

Non je n'ai pas terminer les questions 1 à 4 je comprends pas tout encore..
Pour la solution 2 c'est pas plutot x=0 ou x = -pi/2 ?
Et pour la 4 les solutions sont bien 2; -2; 2pi/3 et -2pi/3 ?
Merci pour le renseignement pour la solution 3 !

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 21:44

Alors...

2) sin²x - sin x = 0
sin x(sin x - 1) = 0
sin x = 0  ou sin x - 1 = 0
sin x = 0 ou sin x = 1
x = 0\ \ ou\ \ x = \frac{\pi}{2}\ \ si\ x\in ]-\pi;\pi[

*********************

Citation :
Et pour la 4 les solutions sont bien 2; -2; 2pi/3 et -2pi/3 ?
Pourquoi 2 et -2 ?

4) 2cos²x - 3cos x - 2 =0
Posons X = cos x.
L'équation s'écrira : 2X² - 3X - 2 = 0.
Discriminant,...
On a : X = 2 ou X = -1/2
c'est-à-dire : cos x = 2 ou cos x = -1/2.

Or cos x = 2 est impossible car pour tous les x réels, -1cos x1.

cos x = -1/2 x = -2/3 ou 2/3 si x]-;[

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 21:45

A la dernière ligne, il faut lire : ... si x]-;[

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 22:06

Ah oui en effet j'avais oublié la propriété -1<cos<1 Merciii !!!!

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 22:09

Pour être précis, l'inégalité n'est pas stricte...

On a : -1 cos x 1.  

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 22:15

Oui j'avais bien compris mais je n'arrivais pas a faire le signe plus petit ou égale ^^
Pour la solution 3, tu m'as donné cosx = ( 5pi/6 - x )
Mais après je dois faire comment ?

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 22:22

Attention, tu as coupé l'égalité...

Il s'agit de : \large  cosx = cos(\frac{5\pi}{6}-x).

On sait que : \boxed{cos A = cos B \Longleftrightarrow A = B [2\pi]\ \  ou\ \  A = -B [2\pi]}

Dans le cas de l'équation,  A = x\ \ et\ \ B=(\frac{5\pi}{6}-x).

Cela devrait t'aider.
Si tu as un problème, fais signe

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 22:30

Cela me donnera alors :
Cosx = cos( 5pi/6 - x )
x = 5pi/6 [2pi] ou x = - 5pi/6 [2pi]   ????

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 22:40



 x =\frac{5\pi}{6}-x[2\pi]\ \ ou\ \ x = -(\frac{5\pi}{6}-x)[2\pi] .

 2x =\frac{5\pi}{6}[2\pi]\ \ ou\ \ x = -\frac{5\pi}{6}+x[2\pi] .

Ainsi :

 2x =\frac{5\pi}{6}[2\pi] \Longleftrightarrow x =\frac{5\pi}{12}[\pi]

et

 x = -\frac{5\pi}{6}+x[2\pi] \Longleftrightarrow  0 = -\frac{5\pi}{6}[2\pi] \Longleftrightarrow \frac{5\pi}{6}=[2\pi] , ce qui est impossible.

Donc, dans l'intervalle ]-\pi ;\pi[, que vaut x ?

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 22:45

Les solutions dans l'intervalle ]-pi ; pi [ sont alors { 5pi/12 et -5pi/12 } ???

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 22:52

Non, tu as mal compris la solution x =\frac{5\pi}{12}[\pi]

Cela signifie : x =\frac{5\pi}{12}+k\pi

Si k = 0, alors x = ...
Si k = -1, alors x = ...

Les autres valeurs de k donnent des valeurs de x qui n'appartiennent pas à ]-;[

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 22:59

Tiens, pour info, tu sais que tu as des symboles mathématiques intéressants si tu veux les utiliser dans tes messages...

Tu cliques sur le symbole pour les utiliser...
Dm angle orienté

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:03

Oui mais les solutions sont bien 5pi/12 et -5/12 si k=0 et k=-1 ?

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:07

Si k = -1, alors \large \frac{5\pi}{12} - \pi = \frac{5\pi}{12}-\frac{12\pi}{12}=-\frac{7\pi}{12}

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:10

Ah oui !!
Les solutions sont alors 5/12 ; -512 et -7/12 ?

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:12

Mais non... il n'y a pas -5/12

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:12

D'où le sors-tu ?

(bravo pour l'écriture de !!- Tu as progressé...)

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:13

Ohlala je suis vraiment nul, merci beaucoup en tout cas !

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:14

Je sais pas d'où je le sors à chaque fois que j'ai une solution je met la même mais avec un moins devant mdr. Oui merci pour l'astuce

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:15

Citation :

Ohlala je suis vraiment nul,
Mais non, mais non...
C'est la fatigue !

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:17

Ah non c'est pas la fatigué, j'aimerais bien que ce soit juste la fatigue ^^

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:19

Citation :
à chaque fois que j'ai une solution je met la même mais avec un moins devant
Dans ce cas-ci, l'exercice était un peu plus élaboré et ce n'était pas aussi automatique.

Je crois que je vais bientôt et malgré ce que tu as écrit, tu pourrais y songer aussi !  

Bonne fin de soirée.

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:22

Oui je continuerais les question 2, 3 et 4 que je n'ai toujours pas faites plus tard.
Merci encore pour ton aide, bonne soirée !

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 20-12-11 à 23:24

Je serai encore là pour t'aider... No problem!
Allez hop! Au dodo !

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 22-12-11 à 12:38

Bonjour, c'est la copine a Camilla, je me connecte sur son compte car je ne suis pas membre et à vrai dire, je souhaite pas m'inscrire car j'ai juste une petite question à vous posez... Dans notre cours, on a écrit : -cos = cos ( + ) mais aussi -cos = ( - .) Alors, je voulais savoir, comment on sait si on doit choisir l'une ou l'autre pour -cos. :/ Merci d'avance; bonne journée!

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 22-12-11 à 18:58

Bonsoir camilla(2)

Si tu veux éliminer le signe "-" devant cos x, les deux formules sont appropriées et tu peux choisir celle que tu désires.

Posté par
Galak
Help!! 30-12-11 à 12:38

Salut Camilla, j'ai le même exercice que toi et je suis rendu au même endroit que toi au début du forum, j'ai fini la partie 1 mais pourrais tu me dire tes réponses pour que je sois plus sûre car un ami n'a pas trouvé pareil que moi . Par contre je n'arrive pas du tout le suite et je n'arrive pas trop à suivre votre conversation car je ne vois pas trop à quelles questions ça correspond, pourrais tu également m'écrire ce que tu as fait pour la suite, cela me serai d'une grande aide car je ne sais vraiment plus quoi faire , j'ai passé beaucoup de temps dessus et j'ai demandé à plusieurs personnes qui n'ont pas su me répondre :-/ merci d'avance !

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 02-01-12 à 15:44

A partir de la question ) je n'ai rien fais car je comprends rien et je suis dans une belle merde car il faut le rendre mercredi ! Si tu veux que je t'explique les questions d'avant tu aurais pas une adresse mail comme sa je t'envoie une photo de ce que j'ai fais c'est plus pratique

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 02-01-12 à 15:45

question 2*

Posté par
Galak
re : Dm angle orienté 02-01-12 à 18:19

Ok, voici mon adresse e-mail : ***
merci beaucoup, moi aussi je galère trop !
édit Océane : pas d'adresse mail sur le forum, merci

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 02-01-12 à 22:06

>> Galak

Pas d'adresse mail sur les topics... C'est trop dangereux.
Je vais demander qu'un modérateur l'efface

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 02-01-12 à 23:15

Voici la raison et comment faire pour la communiquer.
clique ici : [lien]

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 03-01-12 à 18:23

Hiphigénie j'ai la reponse pour la 2)a mais après je ne sais plus comment faire, peux-tu m'aider et vite czr je dois rendre mon dm jeudi et j'ai mes revisions du bac blanc donc je n'ai pas trop le temps

Posté par
camilla
re : Dm angle orienté 03-01-12 à 18:24

Pour la 3) je n'arrive pas à me mettre dans l'intervalle x[0:/2 ]

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 03-01-12 à 19:29

Voyons la 2b)

Citation :
2b) Puisque sin2x' = 2sinx' cosx', on a : sin[2(x-/2)] = 2sin(x-/2)cos(x-/2).

Tu transformes sin[2(x-/2)], sin(x-/2)  et  cos(x-/2) en utilisant tes formules de trigo...
Voici les formules de trigo à appliquer :

\boxed{sin(a-b)=sina\ cosb-sinb\ cosa}
et
\boxed{cos(a-b)=cosa\ cosb+sina\ sinb}

Par conséquent :

sin[2(x-\frac{\pi}{2})] = sin(2x-\pi})] = sin...\ cos...-sin...\ cos... = ...

sin(x-\frac{\pi}{2}) = sin...\ cos...-sin...\ cos... = ...

cos(x-\frac{\pi}{2}) = cos...\ cos...+ sin...\ sin... = ...

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 03-01-12 à 21:38

Et pour le 3)

La formule sin2x = 2sinx cosx a été démontrée si x\in [0;\frac{\pi}{2}] par la question 1).

La formule sin2x = 2sinx cosx a été démontrée si x\in [\frac{\pi}{2};\pi] par la question 2).

Par conséquent, la formule sin2x = 2sinx cosx a été démontrée si x\in [0;\pi].

Dans la question 3), on a : x\in [-\pi;0]   et    x''=-x

Dans quel intervalle se trouve   x'' ?

Posté par
Galak
re : Dm angle orienté 03-01-12 à 21:44

Désolé je ne savais pas pour l'e-mail =$, camilla tu peux me l'envoyer par l'e-mail de mon compte, normalement je l'ai activé et tu dois pouvoir la voir, merci !

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 03-01-12 à 21:48

Non, elle n'apparaît pas encore...

Posté par
Galak
re : Dm angle orienté 03-01-12 à 21:50

Est ce que tu sais comment il faut que je fasse ?

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 03-01-12 à 21:52

Tu vas dans ton Profil.

Puis :

Mes informations
   (vos informations personnelles)

Cocher "Afficher mon email pour les membres."

Valider les modifications

Posté par
Galak
re : Dm angle orienté 03-01-12 à 21:58

Voilà c'est fait, merci =)

Posté par
Hiphigenie
re : Dm angle orienté 03-01-12 à 22:00

Yes ! Je vois
Là où elle est mise, elle est protégée...

Bonne soirée.

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