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DM approndissement

Posté par
grungie 04-11-15 à 19:13

Bonsoir ! J'ai un exercice noté à faire mais je ne vois vraiment pas comment procéder... Pouvez vous m'aiguiller ?
Merci d'avance !

Énoncé :
Deux échelles, l'une de 3 mètres et l'autre de 2 mètres, sont posées le long de deux murs comme l'indique la figure.
Elles se croisent à 1 mètre du sol.
Calculer une valeur approchée de la distance x entre les deux murs.

PISTE : Commencer par démontrer que x est solution de l'équation : 1/((4-x2)) + 1/((9-x²)) = 1
        Avec 0<x<2.

DM approndissement

Posté par
mdr_nonre : DM approndissement 04-11-15 à 19:19

bonsoir : )

Thalès et Pythagore peuvent t'aider ici ...

Posté par
grungiere : DM approndissement 04-11-15 à 19:26

oui mais il me manque certaines valeurs non ? je ne vois pas du tout comment faire, je bloque depuis 1h dessus

Posté par
mdr_nonre : DM approndissement 04-11-15 à 20:08

non il ne manque rien : )

DM approndissement

Pythagore : 4 - x² = L² et 9 - x² = L'²

ça nous donne déjà quelque chose de pas mal,

Thalès maintenant : 1/L' = y/x et 1/L = (x - y)/x = 1 - y/x = 1 - 1/L'

donc, 1/L = 1 - 1/L'

d'où l'équation demandée,

Posté par
grungiere : DM approndissement 07-11-15 à 11:58

D'accord, j'ai bien compris l'équation demandée. Mais maintenant, je dois la résoudre et trouver que x est solution de l'équation mais je ne vois pas comment faire...

Posté par
mdr_nonre : DM approndissement 07-11-15 à 12:31

non l'énoncé ne te demande pas de résoudre l'équation,

elle te demande une valeur approchée, utilise ta calculatrice,

Posté par
grungiederivée 07-11-15 à 13:21

Bonjour ! Je voudrais calculer la dérivée de 1/(4-x²) + 1/(9-x²) puis ensuite résoudre l'équation f'(x) (donc la dérivée) = 0 mais je n'y arrive pas...est ce que 1/(4-x²) + 1/(9-x²) = 1/(2-x) +1/(3-x) ? Si oui, la dérivée est elle alors (-13+2x²)/((4-x²)(9-x²)) ? Merci d'avance de votre aide !

*** message déplacé ***

Posté par
sanantonio312re : derivée 07-11-15 à 13:23

Bonjour,
prends 2' , mets de l'ordre dans tes pensées et poses tes questions tranquillement de manière compréhensible stp.

*** message déplacé ***

Posté par
UnAlgerien39re : derivée 07-11-15 à 13:24

bjr,
Ah non jamais ça

*** message déplacé ***

Posté par
sanantonio312re : derivée 07-11-15 à 13:25

Mais si ta question est: est-ce que 4-x2=(2-x)2, la réponse est non.
Reprends tes cours de 3eme sur les identités remarquables.

*** message déplacé ***

Posté par
grungiere : DM approndissement 07-11-15 à 13:29

Donc il faut que j'utilise le CTVI (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) pour encadrer la solution notée x de l'équation 1/(4-x²) + 1/(9-x²) = 1 ? , pour cela il fat démontrer que la fonction f(x) = 1/(4-x²) + 1/(9-x²) est continue car dérivable et monotone sur l'intervalle ]0;2[ ?

Posté par
grungiere : derivée 07-11-15 à 13:33

Qui répond à ma place là ?

*** message déplacé ***

Posté par
Jedoniezhre : derivée 07-11-15 à 13:40

C'est la 4ème dimension ce topic ...

derivée

*** message déplacé ***

Posté par
mdr_nonre : DM approndissement 07-11-15 à 13:51

le CTVI te permettra de dire que la solution est unique sur ]0 , 2[, (son rôle n'est pas d'encadrer la solution... mais d'en prouver l'existence et si existence il y a, de montrer son unicité, mais ensuite tu devras utiliser ta calculatrice pour donner une valeur approchée)
ou utiliser une méthode numérique comme par exemple la dichotomie...

on peut croire que le CTVI encadre la solution, c'est vrai en quelque sorte,
il donne un PREMIER encadrement et c'est tout, après c'est avec d'autres méthodes que tu essaies d'affiner cet encadrement (en revenant éventuellement au CTVI... mais ce n'est pas son rôle),

Posté par
mdr_nonre : DM approndissement 07-11-15 à 13:53

tu trouveras x 1.23

Posté par
grungiere : DM approndissement 07-11-15 à 13:54

je ne sais pas ce qu'est la dichotomie. Je vais donc utiliser le CTVI pour prouver l'existence 'une solution puis ensuite, trouver son encadrement grâce à ma calculette. Je reviens vous faire part de mes résultats

Posté par
grungiere : derivée 07-11-15 à 13:57

Bonjour. ma 1ère question est, est ce que (4-x²) = 2-x et est ce que (9-x²) = 3-x ?

*** message déplacé ***

Posté par
grungiere : derivée 07-11-15 à 14:07

personne ?

*** message déplacé ***

Posté par
mdr_nonre : derivée 07-11-15 à 14:19

salut à tous : )

grungie tu aurais du rester sur ton premier topic : )

tout ce que tu dois faire c'est : calculer la dérivée et étudier son signe,
pour calculer la dérivée tu dois reconnaitre ici qu'on a à dériver quelque chose de la forme 1/u1, avec u1(x) = V(4 - x²)

quelle est la dérivée de 1/u1 ?

ensuite, tu devras dériver u1(x) = V(4 - x²), et c'est de la forme V(u2) avec u2(x) = 4 - x²

quelle est la dérivée de V(u2) ?

...

c'est comme ça que tu dois faire, reconnaitre les fonctions composées et appliquer les formules qui vont bien,

*** message déplacé ***

Posté par
mdr_nonre : derivée 07-11-15 à 14:22

dans le premier cas il s'agit de dériver l'inverse d'une fonction : 1/u1, tu dois pouvoir retrouver la formule qui va bien ?

dans le deuxième cas il s'agit de dériver une fonction composée avec une racine carrée : V(u2)
(ou alors de dériver une fonction composée tout court, de la forme : v2(u2) avec v2(x) = V(x) et u2(x) = 4 - x²) tu dois pouvoir retrouver la formule qui va bien ?

...

*** message déplacé ***

Posté par
grungiere : derivée 07-11-15 à 14:32

Bonjour et merci !
donc pour 1/u1 la dérivée est -u1'/u1²  
pour u2, la dérivée est u2'/2Vu2
donc au final, ça donne -(u2'/2Vu2)/u1² ?

*** message déplacé ***

Posté par
grungiere : DM approndissement 07-11-15 à 14:56

c'est ça ?

Posté par
sanantonio312re : DM approndissement 07-11-15 à 15:19

Citation :
Bonjour. ma 1ère question est, est ce que (4-x²) = 2-x et est ce que (9-x²) = 3-x ?

Es tu sérieux en posant cette question?

Posté par
grungiere : DM approndissement 07-11-15 à 15:40

Oui pourquoi ? C'est bien ça ?

Posté par
Jedoniezhre : DM approndissement 07-11-15 à 15:46

Non, pas vraiment ...

Posté par
grungiere : DM approndissement 07-11-15 à 16:06

je me suis dit que V4 = 2 et Vx² = x donc V(4-x²) = 2-x...

Posté par
Jedoniezhre : DM approndissement 07-11-15 à 16:11

\sqrt{4}=2

\sqrt{x^2}=\mid x\mid =\left\lbrace\begin{array}l x\text{ si }x>0 \\ -x\text{ si }x<0 \end{array}

\sqrt{4-x^2}=\sqrt{(2-x)(2+x)}

Posté par
grungiere : DM approndissement 07-11-15 à 16:15

quelle est la dérivée de 1/(4-x²) + 1/(9-x²) ? je n'y arrive vraiment pas...

Posté par
Jedoniezhre : DM approndissement 07-11-15 à 16:23

\frac{1}{\sqrt{U}}=\frac{1}{U^{\frac{1}{2}}}=U^{-\frac{1}{2}}

Sachant à présent que :

(U^n)'=nU^{n-1}\times U'

tu dois être à même de répondre à ta demande.

Posté par
mdr_nonre : DM approndissement 07-11-15 à 17:17

Citation :
quelle est la dérivée de 1/(4-x²) + 1/(9-x²) ? je n'y arrive vraiment pas...


tu as pourtant bien réussi à trouver la formule tout à l'heure :
Citation :
donc pour 1/u1 la dérivée est -u1'/u1²  
pour u2, la dérivée est u2'/2Vu2
donc au final, ça donne -(u2'/2Vu2)/u1² ?


maintenant remplace...

Posté par
grungiere : DM approndissement 07-11-15 à 17:48

Mais ça me donne quelque chose de bizzare... Que trouvez vous ?

Posté par
mdr_nonre : DM approndissement 07-11-15 à 18:08

écris ton résultat et on te corrigera... (et mets les détails de tes calculs si tu souhaites qu'on t'explique tes erreurs)

Posté par
grungiere : DM approndissement 07-11-15 à 18:47

(2/2V(4-x²))/(V(4-x²)²) + (2/2V(9-x²))/(V(9-x²)²)

Posté par
mdr_nonre : DM approndissement 07-11-15 à 19:39

non, presque...


\large \boxed{f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}}

*** f est de la forme \red\boxed{U_1 + V_1} avec \boxed{U_1(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}} et \boxed{V_1(x) = \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}}
or \red\boxed{\left(U_1 + V_1\right)^{'} = U_1^{'} + V_1^{'}}



*** *** on a besoin de dériver \boxed{U_1(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}} et \boxed{V_1(x) = \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}}

U1 est de la forme \red\boxed{\frac{1}{U_2}} avec \boxed{U_2(x) = \sqrt{4 - x^2}}
de même V1 est de la forme \red\boxed{\frac{1}{V_2}} avec \boxed{V_2(x) = \sqrt{9 - x^2}}

or \red\boxed{U_1^{'}(x) = \left(\frac{1}{U_2}\right)^{'} = \frac{-U_2^{'}}{\left[U_2\right]^2}}
de même \red\boxed{V_1^{'}(x) = \left(\frac{1}{V_2}\right)^{'} = \frac{-V_2^{'}}{\left[V_2\right]^2}}



*** *** *** on a besoin de dériver \boxed{U_2(x) = \sqrt{4 - x^2}} et \boxed{V_2(x) = \sqrt{9 - x^2}}

U2 est de la forme \red\boxed{\sqrt{U_3}} avec \boxed{U_3(x) = 4 - x^2}
de même V2 est de la forme \red\boxed{\sqrt{V_3}} avec \boxed{V_3(x) = 9 - x^2}

or \red\boxed{U_2^{'} = \left(\sqrt{U_3}\right)^{'} = \frac{U_3^{'}}{2\sqrt{U_3}}}
de même \red\boxed{V_2^{'} = \left(\sqrt{V_3}\right)^{'} = \frac{V_3^{'}}{2\sqrt{V_3}}}



*** *** *** *** on a besoin de dériver \boxed{U_3(x) = 4 - x^2} et \boxed{V_3(x) = 9 - x^2}
\boxed{U_3^{'}(x) = -2x}
\boxed{V_3^{'}(x) = -2x}


ok c'est bon, on peut remonter,

quand on remonte à (*** *** ***) on obtient alors :
\boxed{U_2^{'}(x) = \frac{U_3^{'}(x)}{2\sqrt{U_3(x)}} = \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}}
\boxed{V_2^{'}(x) = \frac{V_3^{'}(x)}{2\sqrt{V_3(x)}} = \frac{-2x}{2\sqrt{9 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}}}

quand on remonte à (*** ***) on obtient alors :
\boxed{U_1^{'}(x) = \frac{-U_2^{'}(x)}{\left[U_2(x)\right]^2} = \frac{-\frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}}{\sqrt{4 - x^2}^2} = \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}(4 - x^2)}}
\boxed{V_1^{'}(x) = \frac{-V_2^{'}(x)}{\left[V_2(x)\right]^2} = \frac{-\frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}}}{\sqrt{9 - x^2}^2} = \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}(9 - x^2)}}}

quand on remonte à (***) on obtient alors :
\boxed{f'(x) = U_1^{'}(x) + V_1^{'}(x) = \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}(4 - x^2)} + \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}(9 - x^2)}}



Ensuite étude de signe,

pour 2 > x > 0, clairement f'(x) > 0 car dénominateur et numérateur positif,

Posté par
grungiere : DM approndissement 07-11-15 à 20:00

ok merci beaucoup ! donc f est croissante sur ]-2,2[.
Comme la fonction f est dérivable et monotone (croissante) sur ]-2,2[, par le CTVI, il existe une solution x telle que f(x)=1.
Par encadrement, grâce à ma calculatrice, je trouve, 0<x<2 1,2<x<1,3 1,23<x<1,24 1,231<x<1,232.
x1,231m
La distance entre les deux mur est de 1,231 mètres.

Posté par
mdr_nonre : DM approndissement 07-11-15 à 21:33

Citation :
ok merci beaucoup ! donc f est croissante sur ]-2,2[.
Comme la fonction f est dérivable et monotone (croissante) sur ]-2,2[, par le CTVI, il existe une solution x telle que f(x)=1.
Par encadrement, grâce à ma calculatrice, je trouve, 0<x<2 1,2<x<1,3 1,23<x<1,24 1,231<x<1,232.
x1,231m
La distance entre les deux mur est de 1,231 mètres.


tout ce qui est souligné en rouge est tout ce qui ne va pas,

on a montré que f était croissante sur ]0 , 2[ SEULEMENT (pas sur ]-2 , 2[) d'ailleurs, f est décroissante sur ]-2 , 0[,

ensuite, ce n'est pas comme cela qu'on applique le CTVI,

il faut que 1 appartienne à l'image de ]0 , 2[ par f,
écris autrement il faut que 1 appartienne à f(]0 , 2[),

on a :
f(0) = 1/2 + 1/3 = 5/6
quand x tend vers 2, x < 2, f(x) tend vers +infini
donc f(]0 , 2[) = ]5/6 , +infini[ et 1 appartient à ]5/6 , +infini[
maintenant (et seulement maintenant) tu peux appliquer le CTVI pour dire que f(x) = 1 admet une solution unique,

sinon encadrement ok : )

Posté par
grungiere : DM approndissement 07-11-15 à 21:48

D'accord c'est compris. Merci beaucoup pour votre aide et votre patience !!

Posté par
mdr_nonre : DM approndissement 07-11-15 à 21:53

avec plaisir : ) bonne continuation : )

Posté par
etnasre : DM approndissement 14-12-19 à 21:34

Bonsoir,
je viens de lire cette conversation qui m'a beaucoup aidé j'ai le même exercice mais j'ai encore un problème :
je ne comprends pas en quoi la fonction f n'est pas définie sur [0 ; 2[ au lieu de ]0 ; 2[
merci d'avance,

Posté par
Yzzre : DM approndissement 15-12-19 à 08:56

Salut,

On a f(0) = 1/2 + 1/3 = 5/6 : f est donc bien définie en 0.


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