Inscription / Connexion Nouveau Sujet
DM colinéarité de vecteurs
Bonjour, je ne parviens pas à trouver la solution de cet exercice sur les vecteurs:
A et B sont deux points donnés.
M et N sont des points tels que :
AM + 2BM = 0 et - AN + 2BM = 0
Démontrer que les vecteurs AB et MN sont colinéaires.
[b][/b] Il s'agit bien de vecteurs mais je n'ai pas mis les flèches au dessus des lettres.
Je pensais être près de la solution, mais en fait en général je ne parviens qu'à trouver le vecteur AB. Pouvez-vous m'aider svp ?
Bonjour,
montre tes essais qu'on te dise où ça dérape.
sinon du pur raisonnement sans aucun calcul permet de conclure que A, B, M et N sont tous sur la droite (AB) !
il faut que tu arrives à exprimer MN en fonction de AB.
Déjà tu vois que AN = -AM = 2BM avec les égalités de base que l'on te donne
il te reste à décomposer MN = MA + AN = 2MA = .... essaye des choses
En fait je ne retrouve pas mon raisonnement, mais je crois que j'avais cherché à isoler MN:
. AM + 2BM -AN +2BN= 0
. AM -AN +2BM +2BN=0
. AM + NA +2BM +2BN=0
. NA + AM+2BM +2BN= 0
NM +2BM + 2BN=0
2BM +2BN= -NM
2BM+2BN= MN
Ce qui ne m'avance pas à grand chose puisque on ne peut plus trouver AB...
sinon comme dit mathafou, tu peux faire un raisonnement simple genre :
AN = -AM montre que A; N et M sont alignés
AN = 2BM montre que B est également sur la même droite
donc les 4 points sont sur la même droite.
formellement :
ce qui est donné c'est AB (soient deux point A et B donnés etc)
donc on va tout exprimer en fonction de AB :
AM + 2BM = 0 permet (Chasles) d'exprimer BM en fonction de AB
donc avec - AN + 2BM = 0 d'exprimer AN en fonction de AB
AM + 2BM = 0 permet aussi d'exprimer AM en fonction de AB
avec AM et AN en fonction de AB, on exprime MN en fonction de AB
terminé.
on peut raccourcir en remarquant que AM = -AN (ça économise un Chasles)
bon ça fait un peu "mécanique" comme raisonnement, par rapport à des méthodes plus astucieuses et plus directes, mais au moins on ne se perd pas et ça ne nécessite pas beaucoup d'imagination ...
aussi : le raisonnement sans calculs aboutissant aux 4 points sur la même droite peut même être même plus direct :
AM + 2BM = 0 montre deja dès le départ que M est sur (AB) etc
(AM et BM colinéaires avec le point M en commun, donc M,A,B alignés)
J'ai fait une erreur dans l'énoncé... C'est
-AN + 2BN et non 2 BM
la même méthode marche pareil et c'est même encore plus rapide :
AM + 2BM = 0 donne AM en fonction de AB
-AN + 2BN =0 donne donne AN en fonction de AB
et on termine pareil : AM et AN en fonction de AB donne MN en fonction de AB
par raisonnement sans calculs
AM + 2BM = 0 donc M sur (AB)
-AN + 2BN = 0 donne immédiatement N sur (AB) et la conclusion est encore plus immédiate !
Annuler
connectez vous