Bonsoir,
Ci-joint l'énoncé d'un DM que j'ai à faire pour la rentrée:

Le plan complexe est muni d'un repère ortho-normé direct (O , u, v). On prendra 2 cm pour unité graphique. On appelle J le point d'affixe i.

1. On considère les points A, B, C, H d'affixes respectives a = — 3 — i ;b = - 2 + 4i; c = 3 — i et h = — 2. Placer ces points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.

2. Montrer que J est le centre du cercle C circonscrit au triangle ABC. Préciser le rayon de ce cercle.

3. Calculer sous forme algébrique le nombre complexe (b-c)/(h-a)  En déduire que les droites (AH) et (BC) sont  perpendiculaires.

Dans la suite de l'exercice on admet que H est l'orthocentre du triangle ABC, c'est-à-dire le point d'intersection des hauteurs du triangle ABC.

4. On note G le centre de gravité du triangle ABC. Déterminer g l'affixe du point G. Placer le point G sur la figure.

5. Montrer que le centre de gravité G, le centre du cercle -conscrit J ainsi que l'orthocentre du triangle ABC sont alignés. Le vérifier sur la figure.

6. On note A' le milieu du segment [BC] et A1 le symétrique du point H par rapport au point A'.
a. Montrer que a' =  (1/2)+(3/2)i .  
b. Déterminer a1 l'affixe du point A1.
c. En déduire que le point Ai appartient au cercle C.
d. Quelle nouvelle propriété géométrique cela permet-il de déduire ?
e. Peut-on démontrer que le point A1 appartient au cercle ce sans utiliser l'outil des nombres complexes.

Bon, je suis arrivé à tout, sauf aux deux dernières questions (6d et 6e). En effet, on peut démontrer que A, J et A1 sont alignés (donc AA1 est un diamètre du cercle, donc l'hypoténuse d'un triangle rectangle BAA1 ou CAA1), mais je ne pense pas que cela soit la réponse attendue, le démontrer semblant insinuer une réponse plus "évidente"....
Je pense que l'hypoténuse peut être utile dans le 6e, mais alors qu'apporter au 6d ?
Peut-être pourriez-vous me donner un "coup de pouce" ?
Merci d'avance.