Bonjour à tous, je viens de faire un exercice et je souhaite savoir si j'ai bon sur les questions dont je ne suis pas sûr de la réponse, voici l'énoncé :

Partie I:
on considère la fonction f définie sur ]0, +infini[ par :
f(x) = lnx+1-1/x

1) déterminer les limites de f en 0 et enn + infini.
Pas de problèmes.

2) étudier les variations de f sur ]0,+infini[.
3)En déduire le signe de f(x) sur ]0, +infini[

Voici ce que j'ai fait :
La fonction f est dérivable sur ]0,+infini[ en tant que somme de fonctions dérivables sur ]0, + infini[
f(x)  lnx +1 -1/x
après calculs j'ai :
f'(x) = x+1/x²

Etude du signe de f' :
on a :
x>0 donc x²>0 car la fonction carré est croissante sur R+ donc f' est du signe de "x+1"
et x+1>0 ssi x>-1 or x>0 donc pour tout x appartenant ]0,+infini[on a donc : x+1>0
Ainsi pour tout x appartenant à ]0, + infini[ on : f'(x) >0

tableau de variations :

x             0                                    +infini
signe de f'                          +
var de f   (double barre)    croissante      lim f(x) = + infini
                                                     +infini
lim f(x)= - infini  
x->0
x>0

Pour déterminer le signe de f , on doit trouver la valeur pour laquelle f s'annule pour pouvoir trouver son signe et j'ai vu que f(1) = 0
ainsi, j'ai obtenu le tableau de var suivant :

x             0                       1                   +infini
signe de f'                           +
var de f   (double barre)-infini      0    croissante      lim f(x) = + infini
                                                           +infini
j'en déduis que :

x              0            1          +infini
signe de f        -         0        +

4) Montrer que la primitive de F definie sur ]0, + infini[ est F(x)=xlnx-lnx

Voici ma réponse, mais je ne suis pas sûr :
F(x)=ln(x)+1-1/x
F(x)=(x-1)ln(x)
F(1)=0
Donc F'(x)=ln(x)+x-1/x
                       =ln(x)+1-1/x
                       =f(x)

5) Démontrer que F est strictement croissante sur [1, +infini[.
J'ai dit que d'après la question 2, on a sur [1,+infini[ : f(x) > ou égal à 0
Or F'(x) = f(x) donc F'(x) > ou égal à 0 ainsi : F est strictement croissante sur [1, +infini[.

Voici le tableau de var obtenu :

x           0                1                  +infini

signe
De F'          -             0               +

Var de f       décroissante  0               croissante
         (double barre)
          lim f(x) = +infini                   lim f(x)          = + infini      
            x--> 0               x---> + infini                                  
                  
6)En déduire que l'équation F(x) = 1-1/e admet une unique solution alpha sur [1, +infini[
7)donner un encadrement de alpha à 0.1 près .

On a : 1-(1/e)
J'ai dit que :
Sur [1, + infini, la fonction F est strictement croissante, continue d'intervalle image ]0, + infini[.
On remarque que de par le fait que F soit strictement croissante sur cet intervalle, alors on en déduit que :
1-(1/e) appartient à cet intervalle image. Donc on en déduit que l'équation F(x) = 1-(1/e) admet une unique soulution que l'on notera alpha sur [1, + infini[.

A la calculatrice on a :
1,9<Alpha<2


Partie II:
Soit les fonctions g et h définies sur ]0, + infini[ par :
g(x) = 1/x et h(x) = ln(x) + 1
On note C et τ les courbes représentatives de g et h. Toutes les aires sont exprimées en unité d'aire.

1) soit A le point d'intersection de τ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de A.
Cette question ne m'a pas posé de problème, j'ai trouvé à la fin :
A ( 1/e ; 0 )

2) Soit P le point d'intersection de C et  τ . Justifier que le point P a pour coordonnées (1;1)

g(x)=h(x)
<=> 1/x=lnx+1
<=>lnx+1-1/x=0
<=>f(x)=1
On a donc P(1;1)

(JE NE SUIS PAS SUR DE CETTE REPONSE)

3) On note A l'aire du domaine délimité par C, τ et les droites d'équations : x =1/e et x = 1.

a) Exprimer A à l'aide de la fonction f. (cette question me pose de problème

b) Montrer que A = 1 - 1/e ( celle ci également )

4) Soit un réel t>1. On note B(t) l'aire du domaine délimité par C, τ et les droites d'équations x = 1 et x = t .

a) Montrer que B(t) = t lnt - ln t

b) Peut-on trouver une valeur t telle que B(t) = A?
Si oui, y'a-t-il unicité de la solution t?

(JE N'AI PAS RÉUSSI CETTE REPONSE EGALEMENT).

Voilà, j'espère avoir bien réussi cet exercice, et j'aurai de votre aide au plus vite svp  
Merci d'avance ☺️