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Niveau Maths sup
DM de Math Sup (arithmétique)
Posté par masse501e (invité)
Bonjour, pouvez-vous m'aidez svp j'ai un dm de math à rendre dans un jour et il y a beaucoup de question que je n'arrive pas à résoudre .
Merci d'avance...
Exercice n°1: (petir théorème de Fermat)
1) Montrer que : 
k 
[|1,p-1|], p divise "k parmi p".
2) Etablir alors que : (a,b)
2, (a+b)p=ap+bp[p].
3 et 4) OK
5) Conclure les résulats trouvés ds les questions 3 et 4: n/{2}, ap
a[p].
Exercice n°2:
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On décompose n en produit de facteurs premiers : n=p1a1p2a2.......prar.
On note d(n) le nombre de diviseurs positifs de n.
1) Démontrer que d(n)=(a1+1)(a2+1)......(ar+r).
2) OK
3) Plus petit naturel ayant 16 diviseurs ==> OK
4) Démontrer que n est un carré parfait ssi d(n) est impair.
5) Démontrer que, pour tout entier n, nd(n) est un carré parfait et plus précisément que c'est le carré du produit de tous les diviseurs positifs de n. Donner un exemple.
Merci...Ce DM est a rendre vendredi.
Posté par N_comme_Nul (invité)re : DM de Math Sup (arithmétique)
Salut !
Pour l'exercice 1 :
ne divise pas "
parmi
"
est un entier
Comme p est premier et comme k est strictement plus petit que p, alors 2, 3, ..., k ne divisent pas p, ni . On en déduit (lemme de Gauss ou d'Euclide je ne sais plus) que
est un entier, c'erst-à-dire que p divise "p parmi k"
2) Conséquence de 1) et de la formule du binôme de Newton
Posté par masse501e (invité)OUPS
Oui c'est vrai g oublié de préciser que p est premier.
Depuis hier g beaucoup avancer il me reste plus que les dernieres questions de l'exercice 1 un à traiter:
3) MQ a
, apa[p].==> ça j'ai réussi.
4)Montrer que le résultat précédent est encore vrai pour a entier relatif (examiner à part le cas p=2).
5) Conclure.
6)Application: Montrer que x19y-xy19 pour tout x et tout y dans .
Voila pouvez-vous m'aidez svp ???
Bonjour la 5 n'est pas difficile, il suffit de voir que p est impair (sinon p=2 et c'est trivial) et que si on a l'égalité pour a>0 alors on l'a pour a<0:
mais
(-a)^p=(-1)^p.a^p=-a^p=-a
Pour la 6 il manque quelque chose
Posté par masse501e (invité)re : DM de Math Sup (arithmétique)
MMerci otto
en fait la 6 c'est:
6)Application: Montrer que 798 divise x19y-xy19 pour tout x et tout y dans .
798=2*3*7*19
Il suffit d'appliquer le théorème de Fermat pour p=19
pour p=2 c'est trivial.
il reste les 2 autres cas qui ne doivent pas être difficile non plus et qui doivent utiliser le théorème de Fermat, une fois de plus.