Niveau terminale

DM de maths sur les barycentres

Posté par fanie (invité) 14-09-07 à 13:11

bonjour,je voudrais savoir si vous pouvez m'aider à résoudre ce problème svp

Dans l'espace, on considère un tétraède ABCD
1) construire le barycentre I du système (A;1) (B;1) (c.2)
j'ai trouvé AI= 1/4 AB + 1/2 AC

2) m est un nombre réel. On désigne par G le barycentre du système (A;m) (B;m) (C;2m) (D;(m-2)²)
a)justifier l'existence de G pour toute valeur de m
b) montrer, que pour tout réel m, la relation:
DG= 4m/m²+4 DI

c'est sur ces deux questions que je blos merci d'avance pour votre aide

Posté par re : DM de maths sur les barycentres 14-09-07 à 13:37

Bonjour,

Pour la 1) soit $J$ le barycentre de $\{(A,1);(B,1\}$

$J$ est le milieu de $[AB]$

Par associativité, $G$ est le barycentre de $\{(J,2);(C,2)\}$

Donc $G$ est le milieu de $[CJ]$ (plus pratique pour "construire" $G$ )

2)a) La somme des coefficients: $4m+(m-2)^2=m^2+4 \not=0$ donc $G$ existe pour tout $m$ réel.

b)On a: $m\vec{GA}+m\vec{GB}+2m\vec{GC}+ (m-2)^2\vec{GD}=\vec{0}$

Soit: $m(\vec{GI}+\vec{IA}+\vec{GI}+\vec{IB}+2\vec{GI}+2\vec{IC})+(m-2)^2\vec{GD}=\vec{0}$

Or, $\vec{IA}+\vec{IB}+2\vec{IC}=\vec{0}$

d' où $(m-2)^2\vec{DG}=4m\vec{GI}=4m(\vec{GD}+\vec{DI})$

$(m^2+4)\vec{DG}=4m\vec{DI}$

$\vec{DG}=\frac{4m}{m^2+4}\vec{DI}$

Posté par fanie (invité)re : DM de maths sur les barycentres 14-09-07 à 17:09

merci beaucoup
j'aurais une toute dernière question svp
il y a une question ou il me demande également : quel est le lieu des barycentres G lorsque m décrit R
j'ai mis qu'ils décrivent une courbe !
je comprend pas trop

Posté par re : DM de maths sur les barycentres 14-09-07 à 18:38

Re,

Citation :
j'ai mis qu'ils décrivent une courbe !

Ca, c' est probable!

mais laquestion est laquelle ?

Tu as $\vec{DG}=k\vec{DI}$ avec $k=\frac{4m}{m^2+4}$

Cette relation vectorielle te permet de dire que les vecteurs $\vec{DG}$ et $\vec{DI}$ sont colinéaires, donc que les points $G$ , $D$ et $I$ sont alignés.

Un chose est sûre: $G$ appartient à la droite $(DI)$

La question est maintenant de savoir si $G$ décrit la droite $(DI)$ en entier ou seulement une partie de cette droite quand $m$ décrit $\mathbb{R}$ .
Tout dépend de $k=\frac{4m}{m^2+4}$

On étudie donc les variations de la fonction $f:\,m\mapsto \frac{4m}{m^2+4}$ sur $[0,+\infty[$ car $f$ est impaire.

$f'(m)=\frac{4(2-m)(2+m)}{m^2+4}$

Finalement, sur $]-\infty,-2]\cup[2+\infty[$ , $f$ est croissante

sur $[-2,2]$ , $f$ est décroissante.

On a $\lim_{m\to \pm\infty}f(m)=0$

Un minimum en -2 et $f(-2)=-1$
Un maximum en 2 et $f(2)=1$

Tu feras le tableau de variation de $f$

On constate que quand $m$ décrit $\mathbb{R}$ , $f(m)$ décrit l' intervalle $[-1,1]$

On a donc $\vec{DG}=k\vec{DI}$ avec $k$ décrivant l'intervalle $[-1,1]$ :

En appelant donc $K$ le symétrique de $I$ par rapport à $D$ , $G$ décrit le segment $[IK]$ . (fais un dessin).

Posté par fanie (invité)re : DM de maths sur les barycentres 14-09-07 à 23:06

ok merci je vais allé étudier tt ça merci pour votre aide
à plus tard bye

Posté par re : DM de maths sur les barycentres 14-09-07 à 23:10

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

Géometrie plane et dans l'espace en terminale
6 fiches de mathématiques sur "Géometrie plane et dans l'espace" en terminale disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

DM de maths sur les barycentres

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths