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Je suis désolé je dois vous désespérer
Je l'aurais pas dit comme ça, mais en y réfléchissant d'est un peu l'idée...
Ce que je ne comprends pas c'est que tu t'obstines à vouloir re-rédiger - de travers - ce que je t'ai déjà rédigé correctement hier soir.
La démarche est pourtant simple :
On passe de l'équation de degré 2 en y à une équation de degré 1 en z
On résout l'équation en z
On revient une équation de degré 1 en y
On résout l'équation en y
Je t'ai explicité chaque étape hier...
Pour trouver la forme générale il faut donc faire l'équation y''+2y'+y = 0 d'où le x dans a*x*e^(-x) ?
Bonjour, je poste cet exercice suite à la fermeture pour multi-post.
Je n'ai toujours pas compris celui-ci. Je tiens à remercier tous les professeurs de prendre le temps de nous expliquer correctement les exercices auxquels nous sommes bloqués.
On considère sur l'équation différentielle d'inconnue y définie par (E) : y''+2y'+y = 0.
Q1) On pose z = y'+y
Montrer que si y est une solution de (E) alors z vérifie l'équation différentielle (E2) : z'+z = 0
Réponse Q1) : Si y est une solution de (E), alors z vérifie l'équation différentielle (E2).
Soit z = y'+y, donc --> z' = (y'+y)' = y'' + y'.
Soit y (E2) : z'+z=0 <==> (y'+y)'+y'+y = 0 <==> y''+y'+y'+y = 0 <==> y''+2y'+y = 0. On retombe bien sur l'équation (E), donc si et seulement si y est une solution de (E) alors z vérifie bien l'équation différentielle (E2) : z'+z = 0, ce qui est le cas, finalement y est une solution de (E).
Q2) En déduire alors qu'il éxiste un réel a tel que y est aussi solution de l'équation différentielle, (Ea) : y' + y = ae-x.
On reconnait a*e-x comme un produit de deux fonctions telles que l'on a e-x et a qui est une constante.
On pose donc, y(x) = P(x)*e-x avec P(x) qui vaut : P(x)=(mx+p) -->polynôme du premier degré.
u(x) = mx+p --> u'(x) = m // v(x) = e-x --> v'(x) = -1*e-x
Soit Pour tout x 
, y'(x) = (uv)'(x) = (u'v+uv')(x) = m(e-x) + (mx+p)(-e-x) = e-x(-mx+m-p).
On remplace donc y' et y dans l'équation différentielle (Ea) tel que :
y'+y = a*e-x
<==> e-x(-mx+m-p)+e-x(mx+p) = a*e-x
<==> e-x(-mx+mx+m-p+p) = a*e-x
<==> e-x*m = a*e-x
Finalement on a : m = a.
Voilà ce que j'ai fait pour le moment grâce à l'aide de LeHibou
Comment trouver la forme générale de y ?
Merci d'avance.
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