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DM équation différentielle Partie 2

Posté par
Nathangelus
26-10-20 à 14:18

Bonjour, si quelqu'un pourrait m'aider ce serait gentil. Je bloque sur la question 2. Voici l'énoncé :

On considère sur l'équation différentielle d'inconnue y définie par (E) : y''+2y'+y = 0.

Q1) On pose z = y'+y
Montrer que si y est une solution de (E) alors z vérifie l'équation différentielle (E2) : z'+z = 0

Réponse Q1) : Si y est une solution de (E), alors z vérifie l'équation différentielle (E2).
Soit z = y'+y, donc --> z' = (y'+y)' = y'' + y'.
Soit y (E2) : z'+z=0  <==> (y'+y)'+y'+y = 0  <==> y''+y'+y'+y = 0  <==> y''+2y'+y = 0. On retombe bien sur l'équation (E), donc si et seulement si y est une solution de (E) alors z vérifie bien l'équation différentielle (E2) : z'+z = 0, ce qui est le cas, finalement y est une solution de (E).

Q2) En déduire alors qu'il éxiste un réel a tel que y est aussi solution de l'équation différentielle, (Ea) : y' + y = ae-x.

Q3) Résoudre (Ea) et conclure quant aux solutions de (E).

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 14:27

Bonjour,

On connait les solutions de (E2), je te laisse les retrouver,de là tu remontes à celles de (Ea) puis à celles de (E).

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 14:35

J'ai trouvé que comme z'+z = 0 alors z = z'  <==> y'+y = -y''-y'. Après je ne comprends toujours pas comment avec (E2), on passe à (Ea)

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 15:44

On connait les solutions de z'+z = 0 :
Ce sont les z = a.e-x, a
Ton équation en y devient une équation du 1er degré avec second membre :
y'+y =  a.e-x
Tu dois savoir résoudre cette équation, sinon tu demandes

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 17:27

Si je comprends bien, (Ea) : y'+y=ae^(-x) cela est égale à y'+y=ae^(-x) ?
Les solutions de (Ea) sont donc y' = ae-x/y ?

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 17:29

Non (Ea) : y' = ae-x-y

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 17:34

Citation :
Si je comprends bien, (Ea) : y'+y=ae^(-x) cela est égale à y'+y=ae^(-x) ?

Oui, tu as écrit deux fois la même chose...

Citation :
Les solutions de (Ea) sont donc y' = ae-x/y ?

Non.
y'+y = a.e-x est une équation différentielle linéaire de degré 1 avec second membre.
Sa solution est (voir le cours) la somme de :
- la solution générale de l'équation différentielle homogène y'+y = 0     (i)
- une solution particulière de l'équation différentielle complète y'+y = a.e-x    (ii)
Peux-tu trouver ces deux solutions (i) et (ii) ?

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 17:36

LeHibou @ 26-10-2020 à 17:34

Citation :
Si je comprends bien, (Ea) : y'+y=ae^(-x) cela est égale à y'+y=ae^(-x) ?

Oui, tu as écrit deux fois la même chose...

Citation :
Les solutions de (Ea) sont donc y' = ae-x/y ?

Non.
y'+y = a.e-x est une équation différentielle linéaire de degré 1 avec second membre.
Sa solution est (voir le cours) la somme de :
- la solution générale de l'équation différentielle homogène y'+y = 0     (i)
- une solution particulière de l'équation différentielle complète y'+y = a.e-x    (ii)
Peux-tu trouver ces deux solutions (i) et (ii) ?


Je vais aller regarder une vidéo pour comprendre. Et oui, même pas fait gaffe

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 17:42

A plus tard alors

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 18:04

Pour la question 2 : Soit y'+y = 0 donc y' = -1y
Soit f, la solution générale de (Ea), qui est de la forme ya(x) = aex, avec = -1.
Donc f(x) = ae-x.

Après je ne sais pas...même avec les vidéos je n'arrive toujours pas à comprendre.

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 18:26

Up, quelqu'un svp ? Merci !

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 18:40

La solution générale de y'+y = 0 est :
y = b.e-x, b    (i)
J'ai volontairement pris "b" car on a déjà pris "a" pour la solution générale de z'+z = 0.

Peux-tu maintenant trouver une solution particulière de :
y'+y = a.e-x     (ii)
Tu as dû voir ça en cours....

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 18:48

Justement le problème c'est qu'on a pas eu le temps de finir le cours, je l'ai mais tout ce que je peux dire, (vous l'avez déjà dit) c'est que f(x) = be-x + y0 où y0 est une solution particulière de y. Je ne sais pas résoudre une équation du premier ordre avec second membre. Mais je dirai y' = ae-x - be-x <==> e-x(a-b)

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 18:57

Regarde là, c'est un problème analogue, ça va t'inspirer...

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 19:08

LeHibou @ 26-10-2020 à 18:57

Regarde là, c'est un problème analogue, ça va t'inspirer...


Donc il y a du polynome dedans ? Comment on fait pour savoir ?

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 19:39

Disons qu'on te propose de chercher une solution particulière de la forme P(x)e-x, où P est un polynôme en x de degré 1.
Pose donc y(x) = (px+q)e-x, et essaye de déterminer p et q pour que y soit bien une solution de y'+y = a.e-x

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 19:54

Q2 ) Soit y'+y = 0 <==> y' = -1y.

On reconnait y qui est f(x), une primitive de la forme f(b) : x ---> aebx avec
b = -1 donc, cela nous donne f(b) : x ---> ae-x.
La forme générale de f(b) est de ae-x
La forme d'une solution particulière de y est de la forme P(x)ebx avec b = -1 donc P(x)*e-x. P(x) est un polynôme de degré 1 tel que P(x)=(ax+b)*e-x.

f= y, soit f est une fonction de type produit tel que f(x)=(uv)(x) dérivable sur
Sur , u(x) = (ax+b) ---> u'(x) = a /// v(x) = e-x ---> v'(x) = -e-x.

x , f'(x) = (uv)'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = a*e-x + (ax+b)*(-e-x) = a*e-x + (-ax-b)*e-x = e-x(a-ax-b) = e-x(-ax+a-b).

Donc y' = e-x(-ax+a-b).

On remplace donc y et y' dans l'équation différentielle de (Ea) tel que :
(Ea) : y' + y = a*e-x <==> e-x(-ax+a-b) + e-x(ax+b)
<==> e-x(-ax+a-b+ax+b) <==> e-x(ax-ax+b-b+a)
Soit (Ea) y' + y = a*e-x.

Donc les solutions de (E) sont F(x) = a*e-x + C, C une constante appartenant a R.

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 19:58

a = -1 et b = -1.

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 20:26

Ce n'est pas bon.
Je reprends où j'en était resté à 19h39 :

Citation :
Pose donc y(x) = (px+q)e-x, et essaye de déterminer p et q pour que y soit bien une solution de :
y'+y = a.e-x     (ii)

y = (px+q)e-x
y' = p.e-x - (px+q)e-x
p.e-x - (px+q)e-x + (px+q)e-x = a.e-x
p.e-x = a.e-x
D'où p = a, q a disparu donc on peut prendre n'importe quelle valeur (onecherche UNE solution particulière), pour simplifier on prend q = 0.
Une solution particulière de (ii) est donc :
y =a.x.exp-x
Et finalement, la somme de la solution générale de (i) et d'une solution particulière de (ii) est :
y = be-x + axe-x
y(x) = (ax+b)e-x     a et b sont deux constantes
Tu peux vérifier que tu as bien :
y"+2y'+y = 0

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 20:53

J'ai l'impression de rien comprendre, même en regardant les vidéos je ne comprends pas...

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 21:00

Un bon sujet à adresser à la rentrée avec ton prof...
En espérant que les cours reprennent !

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 21:04

Merci beaucoup pour l'aide !

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 21:10

Du coup comment je rédige ?

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 21:14

Je t'en prie !
J'aurais aimé passer un peu plus de temps pour t'expliquer un peu mieux, mais c'est difficile dans le format du forum....
Bon courage et @ une prochaine fois !

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 21:28

La forme générale c'est y(x) = ae^(-x) ?

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 21:31

La forme générale de la solution de y'+y = 0 est effectivement y = a.e-x

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 21:32

LeHibou @ 26-10-2020 à 20:26

Ce n'est pas bon.
Je reprends où j'en était resté à 19h39 :

Citation :
Pose donc y(x) = (px+q)e-x, et essaye de déterminer p et q pour que y soit bien une solution de :
y'+y = a.e-x     (ii)

y = (px+q)e-x
y' = p.e-x - (px+q)e-x
p.e-x - (px+q)e-x + (px+q)e-x = a.e-x
p.e-x = a.e-x
D'où p = a, q a disparu donc on peut prendre n'importe quelle valeur (onecherche UNE solution particulière), pour simplifier on prend q = 0.
Une solution particulière de (ii) est donc :
y =a.x.exp-x
Et finalement, la somme de la solution générale de (i) et d'une solution particulière de (ii) est :
y = be-x + axe-x
y(x) = (ax+b)e-x     a et b sont deux constantes
Tu peux vérifier que tu as bien :
y"+2y'+y = 0


Je ne comprends pas d'où sort le x dans le y = a*x*e^(-x) ?

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 21:32

LeHibou @ 26-10-2020 à 21:31

La forme générale de la solution de y'+y = 0 est effectivement y = a.e-x

D'accord merci !

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 21:34

Je t'en prie !

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 21:41

Comment on cherche la solution particulière ? Avec quelle formule ? Je sais je pose beaucoup de questions...

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 21:59

Il faut que tu trouves un pdf en ligne et que tu l'étudies sérieusement, celui-ci par exemple  :

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 22:04

Si on fait y'+y = 0 étant donné que y = ae-x alors y'= ?. J'ai trouvé avec y(x)=ae-x ----> y'(x) = a*u'eu  u=-x donc u'=-1 soit y'(x) = -a*e-x.

D'où y'+y = 0 <==> -a*e-x+a*e-x = 0.

Ca ne sert à rien mais bon

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 22:08

C'est la vérification :
y = a.e-x
y' = -ae-x
y'+y = 0

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 22:15

LeHibou @ 26-10-2020 à 21:59

Il faut que tu trouves un pdf en ligne et que tu l'étudies sérieusement, celui-ci par exemple  :


Il n'y a pas des fiches de maths plus simples sur ce site ?

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 22:18

Il y en a effectivement une, un bon début mais pas assez complète pour ce problème les équations différentielles : cours

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 22:27

D'accord merci quand même. Demain je ferai une fiche de révisions avec ces formules pour déjà commencer à les apprendre puis j'essayerai de faire des exos, puis si je bloque, un tour sur le forum !

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 26-10-20 à 22:49

Tu seras toujours bienvenu !

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 10:17

Nathangelus @ 26-10-2020 à 21:32

LeHibou @ 26-10-2020 à 20:26

Ce n'est pas bon.
Je reprends où j'en était resté à 19h39 :

Citation :
Pose donc y(x) = (px+q)e-x, et essaye de déterminer p et q pour que y soit bien une solution de :
y'+y = a.e-x     (ii)

y = (px+q)e-x
y' = p.e-x - (px+q)e-x
p.e-x - (px+q)e-x + (px+q)e-x = a.e-x
p.e-x = a.e-x
D'où p = a, q a disparu donc on peut prendre n'importe quelle valeur (onecherche UNE solution particulière), pour simplifier on prend q = 0.
Une solution particulière de (ii) est donc :
y =a.x.exp-x
Et finalement, la somme de la solution générale de (i) et d'une solution particulière de (ii) est :
y = be-x + axe-x
y(x) = (ax+b)e-x     a et b sont deux constantes
Tu peux vérifier que tu as bien :
y"+2y'+y = 0


Je ne comprends pas d'où sort le x dans le y = a*x*e^(-x) ?

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 10:18

Up, Ma question est : d'où est apparu le x ? Je suis en train de copier mon DM.

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 10:50

Tout est dans mes posts d'hier, je regroupe le tout  :

On cherche une solution particulière à l'équation :
y'+y = a.e-x
On se propose de chercher cette solution particulière de la forme P(x)e-x, où P est un polynôme en x de degré 1.
Pose donc y(x) = (px+q)e-x, et essayons de déterminer p et q pour que y soit bien une solution de y'+y = a.e-x
y = (px+q)e-x
y' = p.e-x - (px+q)e-x
p.e-x - (px+q)e-x + (px+q)e-x = a.e-x
p.e-x = a.e-x
D'où :
p = a
q a disparu donc on peut prendre n'importe quelle valeur (on cherche UNE solution particulière)
Pour simplifier on prend :
q = 0
Une solution particulière de (ii) est donc :
y =a.x.exp-x

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 10:59

De toute façon comme q s'annule, il ne peut pas avoir d'autres valeurs que 0 ?

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 11:04

Ce n'est pas que q s'annule, c'est qu'on cherche UNE solution particulière. N'importe quelle valeur de q conviendrait, puisque il disparaît de l'équation, donc autant prendre la plus simple qui est 0.

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 11:07

L'ensemble de solutions c'est quoi finalement ? C'est F(x) = e-x + ae-x ?

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 11:07

Démonstration avec un q quelconque :
y = (ax+q)e-x
y' = a.e-x -  (ax+q)e-x
y'+y = a.e-x

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 11:11

Relis mon post d'hier à 20h26 :

Citation :
Et finalement, la somme de la solution générale de (i) et d'une solution particulière de (ii) est :
y = be-x + axe-x
y(x) = (ax+b)e-x     a et b sont deux constantes
Tu peux vérifier que tu as bien :
y"+2y'+y = 0

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 11:24

Ce que je ne comprends toujours pas c'est que quand on fait y+y' on obtient a*e-x, pourquoi il y a donc a*x*e-x à la fin ?  C'est en faisant le calcul de y''+2y'+y ?

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 11:30

C'est la solution de z'+z = 0 qui a conduit à z = a.e-x
Tu as alors dû résoudre y'+y = a.e-x dont une solution particulière est a.x.e-x

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 11:54

Alors voici ce que je fais :

(Ea) = y'+y = ae-x.

On reconnait ae-x comme produit de 2 fonctions telles que : e-x et a appartenant à un polynôme de degré 1.

On pose donc y(x) = P(x)*e-x avec P(x) = (mx+p).
y est une fonction de type produit dérivable sur , tel que y(x) = (uv)(x).

Avec x u(x) = mx+p ---> u'(x) = m     et     v(x) = e-x ---> v'(x) = -e-x.

Soit y'(x) = (uv)'(x) = (u'v+uv')(x) = m*(e-x) + (mx+p)*(-1)e-x.
                                                                        = e-x(m-mx-p)
                                                                        = e-x(-mx+m-p).

On remplace donc les deux (y' et y) dans l'équation (Ea) = y'+y = a*e-x
<==>   e-x(-mx+m-p) + e-x(mx+p)                                                                                             
<==> e-x(-mx+m-p+mx+p) <==> e-x*m = e-x*a <==> m = a.

D'où la forme générale est y(x) = a*e-x.

Posté par
LeHibou
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 12:05

Citation :
a appartenant à un polynôme de degré 1

a est une constante...

Posté par
Nathangelus
re : DM équation différentielle Partie 2 28-10-20 à 12:16

LeHibou @ 28-10-2020 à 12:05

Citation :
a appartenant à un polynôme de degré 1

a est une constante...


Donc c'est faux là démarche à 11h54. Je suis désolé je dois vous désespérer

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