Bonjour, si quelqu'un pourrait m'aider ce serait gentil. Je bloque sur la question 2. Voici l'énoncé :
On considère sur l'équation différentielle d'inconnue y définie par (E) : y''+2y'+y = 0.
Q1) On pose z = y'+y
Montrer que si y est une solution de (E) alors z vérifie l'équation différentielle (E2) : z'+z = 0
Réponse Q1) : Si y est une solution de (E), alors z vérifie l'équation différentielle (E2).
Soit z = y'+y, donc --> z' = (y'+y)' = y'' + y'.
Soit y
(E2) : z'+z=0 <==> (y'+y)'+y'+y = 0 <==> y''+y'+y'+y = 0 <==> y''+2y'+y = 0. On retombe bien sur l'équation (E), donc si et seulement si y est une solution de (E) alors z vérifie bien l'équation différentielle (E2) : z'+z = 0, ce qui est le cas, finalement y est une solution de (E).
Q2) En déduire alors qu'il éxiste un réel a tel que y est aussi solution de l'équation différentielle, (Ea) : y' + y = ae-x.
Q3) Résoudre (Ea) et conclure quant aux solutions de (E).
Bonjour,
On connait les solutions de (E2), je te laisse les retrouver,de là tu remontes à celles de (Ea) puis à celles de (E).
J'ai trouvé que comme z'+z = 0 alors z = z' <==> y'+y = -y''-y'. Après je ne comprends toujours pas comment avec (E2), on passe à (Ea)
On connait les solutions de z'+z = 0 :
Ce sont les z = a.e-x, a
Ton équation en y devient une équation du 1er degré avec second membre :
y'+y = a.e-x
Tu dois savoir résoudre cette équation, sinon tu demandes
Si je comprends bien, (Ea) : y'+y=ae^(-x) cela est égale à y'+y=ae^(-x) ?
Les solutions de (Ea) sont donc y' = ae-x/y ?
Pour la question 2 : Soit y'+y = 0 donc y' = -1y
Soit f, la solution générale de (Ea), qui est de la forme ya(x) = aex, avec
= -1.
Donc f(x) = ae-x.
Après je ne sais pas...même avec les vidéos je n'arrive toujours pas à comprendre.
La solution générale de y'+y = 0 est :
y = b.e-x, b
(i)
J'ai volontairement pris "b" car on a déjà pris "a" pour la solution générale de z'+z = 0.
Peux-tu maintenant trouver une solution particulière de :
y'+y = a.e-x (ii)
Tu as dû voir ça en cours....
Justement le problème c'est qu'on a pas eu le temps de finir le cours, je l'ai mais tout ce que je peux dire, (vous l'avez déjà dit) c'est que f(x) = be-x + y0 où y0 est une solution particulière de y. Je ne sais pas résoudre une équation du premier ordre avec second membre. Mais je dirai y' = ae-x - be-x <==> e-x(a-b)
Disons qu'on te propose de chercher une solution particulière de la forme P(x)e-x, où P est un polynôme en x de degré 1.
Pose donc y(x) = (px+q)e-x, et essaye de déterminer p et q pour que y soit bien une solution de y'+y = a.e-x
Q2 ) Soit y'+y = 0 <==> y' = -1y.
On reconnait y qui est f(x), une primitive de la forme f(b) : x ---> aebx avec
b = -1 donc, cela nous donne f(b) : x ---> ae-x.
La forme générale de f(b) est de ae-x
La forme d'une solution particulière de y est de la forme P(x)ebx avec b = -1 donc P(x)*e-x. P(x) est un polynôme de degré 1 tel que P(x)=(ax+b)*e-x.
f= y, soit f est une fonction de type produit tel que f(x)=(uv)(x) dérivable sur
Sur , u(x) = (ax+b) ---> u'(x) = a /// v(x) = e-x ---> v'(x) = -e-x.
x
, f'(x) = (uv)'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = a*e-x + (ax+b)*(-e-x) = a*e-x + (-ax-b)*e-x = e-x(a-ax-b) = e-x(-ax+a-b).
Donc y' = e-x(-ax+a-b).
On remplace donc y et y' dans l'équation différentielle de (Ea) tel que :
(Ea) : y' + y = a*e-x <==> e-x(-ax+a-b) + e-x(ax+b)
<==> e-x(-ax+a-b+ax+b) <==> e-x(ax-ax+b-b+a)
Soit (Ea) y' + y = a*e-x.
Donc les solutions de (E) sont F(x) = a*e-x + C, C une constante appartenant a R.
Ce n'est pas bon.
Je reprends où j'en était resté à 19h39 :
Je t'en prie !
J'aurais aimé passer un peu plus de temps pour t'expliquer un peu mieux, mais c'est difficile dans le format du forum....
Bon courage et @ une prochaine fois !
Comment on cherche la solution particulière ? Avec quelle formule ? Je sais je pose beaucoup de questions...
Si on fait y'+y = 0 étant donné que y = ae-x alors y'= ?. J'ai trouvé avec y(x)=ae-x ----> y'(x) = a*u'eu u=-x donc u'=-1 soit y'(x) = -a*e-x.
D'où y'+y = 0 <==> -a*e-x+a*e-x = 0.
Ca ne sert à rien mais bon
Il y en a effectivement une, un bon début mais pas assez complète pour ce problème les équations différentielles : cours
D'accord merci quand même. Demain je ferai une fiche de révisions avec ces formules pour déjà commencer à les apprendre puis j'essayerai de faire des exos, puis si je bloque, un tour sur le forum !
Tout est dans mes posts d'hier, je regroupe le tout :
On cherche une solution particulière à l'équation :
y'+y = a.e-x
On se propose de chercher cette solution particulière de la forme P(x)e-x, où P est un polynôme en x de degré 1.
Pose donc y(x) = (px+q)e-x, et essayons de déterminer p et q pour que y soit bien une solution de y'+y = a.e-x
y = (px+q)e-x
y' = p.e-x - (px+q)e-x
p.e-x - (px+q)e-x + (px+q)e-x = a.e-x
p.e-x = a.e-x
D'où :
p = a
q a disparu donc on peut prendre n'importe quelle valeur (on cherche UNE solution particulière)
Pour simplifier on prend :
q = 0
Une solution particulière de (ii) est donc :
y =a.x.exp-x
Ce n'est pas que q s'annule, c'est qu'on cherche UNE solution particulière. N'importe quelle valeur de q conviendrait, puisque il disparaît de l'équation, donc autant prendre la plus simple qui est 0.
Relis mon post d'hier à 20h26 :
Ce que je ne comprends toujours pas c'est que quand on fait y+y' on obtient a*e-x, pourquoi il y a donc a*x*e-x à la fin ? C'est en faisant le calcul de y''+2y'+y ?
C'est la solution de z'+z = 0 qui a conduit à z = a.e-x
Tu as alors dû résoudre y'+y = a.e-x dont une solution particulière est a.x.e-x
Alors voici ce que je fais :
(Ea) = y'+y = ae-x.
On reconnait ae-x comme produit de 2 fonctions telles que : e-x et a appartenant à un polynôme de degré 1.
On pose donc y(x) = P(x)*e-x avec P(x) = (mx+p).
y est une fonction de type produit dérivable sur , tel que y(x) = (uv)(x).
Avec x
u(x) = mx+p ---> u'(x) = m et v(x) = e-x ---> v'(x) = -e-x.
Soit y'(x) = (uv)'(x) = (u'v+uv')(x) = m*(e-x) + (mx+p)*(-1)e-x.
= e-x(m-mx-p)
= e-x(-mx+m-p).
On remplace donc les deux (y' et y) dans l'équation (Ea) = y'+y = a*e-x
<==> e-x(-mx+m-p) + e-x(mx+p)
<==> e-x(-mx+m-p+mx+p) <==> e-x*m = e-x*a <==> m = a.
D'où la forme générale est y(x) = a*e-x.
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