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Niveau Maths sup
DM equation diophantienne x²+y²=z²
Posté par titi6913 (invité)
Salut,
J'ai un DM a rendre pour la semaine prochaine mais je suis vraiment bloqué sur le dernier exercice.
Voici le sujet :
Exercice 3
On se propose de résoudre dans (
*)3 l'équation x²+y² = z²
1) soit (x,y,z)
(*)3 tel que x²+y² = z² et PGCD(x,y,z)=1.
a) Montrer que x,y et z sont premiers entre eux deux a deux.
b) Prouver que x et y sont de parités contraires et que z est impair.
on supposera dorénavent (dans cette question) x impair, y pair et z impair.
c) Etablir que (z-x)^(z+x)=2
d) Il existe donc (
,
,y')(*)3 tel que z-x = 2, z+x=2, y=2y'.
Verifier : y'²= et ^=1.
e) En déduire qu'il existe (u,v)(*)2 tel que : =u², =v², u^v=1
2) Determiner l'ensemble des triplets (x,y,z) de (*)3tels que x²+y² = z²
Je pense avoir compris la dernière question mais le reste je nage profond si on pouvait m'aider ca serait vraiment sympa.
Merci d'avance
Bonsoir titi6913
1) si tel n'est pas le cas, suppos par exemple l'existence d'un entier premier p divisant x et y. Ainsi, p divise x2+y2, donc p divise z2 et comme p est premier, il divise aussi z ce qui est absurde puisque x,y et z sont censés être premiers entre eux.
2) On suppose par l'absurde que x et y sont de même parité.
Comme x et y sont premiers entre eux, alors ils sont tous les 2 impairs et z2 est alors impair car il est somme de deux entier pairs. Donc z est aussi pair et donc z2 est divisible par 4.
comme x est impair on a soit x
1 [4] ou x3 [4]. On trouve donc que dans les deux cas que x21 [4]. Ainsi, z2=x2+y22 [4]
ce qui est absurde car il est censé être divisible par 4. On en déduit que x et y son de parité différente et que z est alors impair (car z2 est la somme d'un entier pair et d'un entier impair.
Kaiser
c)(z-x)+(z+x)=2z et (z+x)-(z-x)=2x tout diviseur commun à z+x et z-x l'est égalemment à 2x et 2z ; comme z et x sont premiers entre eux, le pgcd est 2
d) y²=z²-x²=(z+x)(z-x) donc...
e) deux nombres premiers entre eux, dont le produit est un carré sont chacun des carrés...
Bonjour titi6913, kaiser et piepalm;
juste une petite idée pour résoudre autrement cet exercice.
Notre équation s'écrivant aussi on voit que le point
qui est à coordonnées rationnelles se trouve sur le cercle unité.Son angle polaire est donc
l'idée est de remarquer que
et donc que
et vu que
on a que
et comme on suppose que
on a que
Sauf erreurs bien entendu 
D'une manière plus générale, on peut paramétrer une conique dont on cherche les points de coordonnées rationnelles, et dont un de ces points est connu (ici le point 1,0 ou 0,1) en écrivant que le point courant est le second point d'intersection d'une droite passant par le point connu, et dont la pente est rationnelle