bonjour,

1.a) Montrer que f est périodique de période 2
il faut que tu calcules f(x+2) et que tu retrouves f(x)
(sin(x+2) =sinx)
b) il faut que tu montre que f(-x)=-f(x)
c)
f'(x)=cosx-0.5*2*cos(2x)= cosx-cos(2x)
=cosx-(2cos²x-1)=-2cos²x+cosx+1
et
-(cosx-1)(2cosx+1)=-(2cos²x+cosx-2cosx-1)=-(2cos²x-cosx-1)=-2cos²x+cosx+1
d'où f'(x)=-(cosx-1)(2cosx+1)

3a.2cosx+1=0 <->cosx=-1/2<->x=2*/3
pour x<2/3, cosx>-1/2 et 2cosx+1>0
pour x>2/3, cos x<-1/2 et 2cosx+1<0

b.pour x[0;], cosx1 donc cosx-10 et -(cosx-1)0
Le signe de f' est donc celui de 2cosx+1
pour x2/3, f'(x)>0 et f est croissante
pour x>2/3, f'(x)<0 et f est décroissante

4.comme o est centre de symétrie tu obtient la courbe sur [-;]

vérifies tout de même les calculs

1a. F est périodique de période 2PI si
f(x+ 2 PI) = f(x)
On a
f(x+2PI)=  sin(x+2PI)-0.5sin(2(x+2PI))
dc f(x+2PI)=  sin(x+2PI)- 0.5*2*sin(x+2PI)*cos(x+2PI)
Or on sait que les cosinus et sinus sont péridiques de période 2Pi, dc cos (x+2PI)=cos x et sin(x+2PI) = sin x.
Par suite ,
f(x+2PI)=  sin(x+2PI)- 0.5*2*sin(x+2PI)*cos(x+2PI)
dc f(x+2PI) = sin x - 0.5*2*sin x * cos x
Et comme sin(2x) = 2 * sin x * cos x, on a
f(x + 2PI) = sin x - 0.5 sin (2x)= f(x)

1b.
Si 0 est centre de symétrie alors on doit vérifier que f(0+x)+f(0-x)=2*0
f(0+x)+f(0-x) = f(x)+ f(-x)
= sin x -0.5sin(2x)+ sin(-x)-0.5sin(-2x)
Comme le fonction sinus est impaire, on a sin(-x) = -sin x, dc
f(0+x)+f(0-x)= sin x-0.5sin(2x)-sin x + 0.5 sin(0.5x) = 0

2.
f'(x) = (sin x )' - 0.5 (sin (2x))'
f'(x) = cos x - 0.5 * 2 cos 2x
f'(x) = cos x - cos 2x
or cos 2x = 2 cos²x - 1 dc
f'(x) = cos x - 2 cos²x + 1
f'(x) = - 2 cos²x + cos x + 1
On pose X = cos x, d'où
f'(X) = -2X²+X+1
Tu cherches le discriminant et tu trouves 2 racines
X1 = 1 et X2 = -1/2
Dc cos x = 1 ou cos x = -1.2
dc f'(x) = -2(cos x - 1)(cos x + 1/2)
dc f'(x) = -(cos x - 1)(2 cos x + 1)

3.
2 cos x + 1 > 0
dc 2 cos x > -1
dc cos x > -1/2
dc x < 2PI/3
Si x ds [2PI/3, PI], 2cos x + 1 < 0
Si x ds [0, 2PI/3], 2 cos x +1 > 0

Bah merci beaucoup à vous deux de m'avoir aidé si rapidement!

C'est très sympa de votre part!