Bonjour, j'ai un DM à rendre pour le 6 novembre sur la fonction exponentielle et je suis bloquée à la deuxième question. Il me manque aussi une justification à la première... Pouvez vous m'aider à demarer svp ?
Voici l'énoncé :
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par fn la fonction définie sur [0;+[ par fn(x) = xne-x et par (Cn) sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
Sur le graphique ci contre, on a représenté une courbe Ck où k est un entier naturel non nul, sa tangente (Tk) au point d'abscisse 1 et la courbe (C1). La droite (Tk) coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées (4/5 ; 0).
1) Étudier les variations de la fonction f1 et dresser le tableau de variations de f1 sur .
2) a) Démontrer que pour tout entier n1, toutes les courbes (Cn) passent par O et un autre point dont on déterminera les coordonnées.
b) Déterminer les positions relatives des courbes (Cn) et (Cn+1).
3) Pour tout n2, étudier les variations de fn sur [0 ; +[.
4) a) Déterminer en fonction de k l'équitation réduite de la droite (Tk) et les coordonnées du point d'intersection de la droite (Tk) et de l'axe des abscisses.
b) En déduire la valeur de l'entier k.
Voici mes recherches :
1) fn' = nxn-1-e-x.
f1(x)= x1e-x donc f1' (x)= x0-e-x= 1- e-x.
f1'(x) s'annule en 0.
J'ai trouvé que f1(x) était croissante entre - et 0 puis croissante entre 0 et +mais je l'ai trouvé par calcul d'exemples et je n'arrive pas à le démontrer...
Pour la 2) je ne sais pas du tout comment m'y prendre... J'aurai besoin d'aide svp.
Merci d'avance.
salut
tu devrais revoir le calcul des dérivées .. en particulier celle d'un produit ...
2/
a/ il suffit de regarder le graphique ... et de vérifier sa conjecture !!!
b/ pour comparer deux nombres il suffit d'étudier le signe de leur différence (collège)
Merci pour vos réponses, je vais revoir mes calculs.
Effectivement je ne sais pas ce qui m'a pris de dériver fn comme ça !
Je trouve fn'(x)= nxn-1 X e-x + (-e-x) X xn = nxn-1 X e-x - e-x X xn... C'est bien ça ? (Le X est un fois)
Pour la 2) a) le graphique montre bien que (Cn) passe par O mais je dois faire un calcul en m'aidant de la tangente ?
Et la b) ne m'a effectivement pas l'air très compliquée avec mon cours.
Merci encore
il serait bien de savoir pourquoi on calcule une dérivée et ce qu'on fait pour qu'à chaque fois qu'on calcule dérivée on la ...
2a/ mais as-tu lu la question ? et l'énoncé ?
J'ai un peu de mal et il faut que je m'entraîne sur ces calculs.
On calcule la dérivée pour trouver les variations de la fonction d'origine avec le signe de la dérivée et quand on calcule la dérivée on la... ? Je ne vois vraiment pas désolé...
En fait pour la 2)a) le fait que les courbes (Cn) passent par le point O me parait logique car c'est ce qui est dit dans l'énoncé mais je ne sais pas comment le démontrer et je ne comprend vraiment pas comment trouver le deuxième point... C'est si évident que ça ?
ok alors comment fait-on pour étudier le signe d'une expression ?
que signifie la proposition : le point M(a, b) appartient à la courbe d'équation y = f(x) ?
Pour étudier le signe d'une expression on doit trouver le signe de chaque partie de l'expression.
Voici mes recherches :
M(a;b) est un point de la courbe d'équation y=f(x). Donc ici y=fn(x)= xne-x.
x=a et y=b. Donc y=fn(a)= ane-a.
L'équation de la tangente à C est y = f'(a)(x-a)+f(a).
On suppose que la tangente Tk coupe la courbe Ck au point M.
M a donc pour coordonnées M(1;0,39) graphiquement (mais le 0,39 est approximatif...)
La tangente Tk a donc pour équation :
y = f'(1)(x-1)+f(1).
y = f'(1)(x-1)+ 1ne-1.
(Du coup je n'ai pas trouvé fn'(x)...)
Je viens de me rendre compte que je suis partie sur une mauvaise piste mais je ne sais pas si tout ce que j'ai mis est complètement faux ou non. Pouvez vous me dire ce que vous en pensez ?
J'ai recherché dans mes cours de l'an dernier car je me souviens m'être servie d'un point M pour determiner une équation. J'ai trouvé qu'il s'agissait du chapitre des produits scalaires au niveau des équations de cercle mais dans mon DM il ne s'agit pas vraiment d'un cercle... Est-ce quand-même la méthode à utiliser ici ?
Ici les parties de l'expression de fn dont xn et e-x. Elles varient selon la valeur de x. xn est toujours du signe de x car n est supérieur ou égal à 1 donc toujours positif. e-x semble toujours positif.
Mais pour trouver les variations de fn il faut que je trouve le signe des parties de l'expression de fn'(x).
Ah oui !! Je suis partie un peu loin 😌
Merci beaucoup !
Comme on nous donne le point A dans l'énoncé je suppose qu'il faut dire que f(4/5)=0. Mais A n'appartient pas à fn... Et sinon j'aurai envi de dire que le point d'intersection des deux courbes et la tangente pourrait être un pont évident mais on a pas ses coordonnees précises...
Oui c'est bien ce que je me disais car il n' appartient pas à Cn mais je ne vois pas de point évident sur Cn... Tous les autres points de la courbe ont l'air d'avoir des coordonnées approximatives...
Et ça n'est pas le point d'intersection des courbes ? C'est à dire (1;0.39) environ... Les coordonnés de ce points ne sont pas précises sur le graphique...
Bonjour, voilà ce que j'ai mis :
Sur le graphique, on peut observer un point à l'intersection des courbes fn et Cn. On le nomme I. On peut lire son abscisse : I(1 ; ?).
On sait que f1(x)= x1e-x
donc f1(1)= 11e-1 = e-10,37.
Le point I a pour coordonnées I(1 ; 0,37).
C'est le bon résultat ?
Ah oui e-1=1/e ! Merci
Et sinon je n'ai toujours pas trouvé la dérivée à la question 1 car une amie m'a donné le résultat que je dois trouver mais je ne comprend pas comment elle a fait je ne trouve pas la même chose...
Elle trouve : f1'(x)= (ex-xex)/e2x = (1-x)/ex
dérivée de f1(x) = x e-x ?
c'est un produit uv dont la dérivée vaut u'v+v'u avec u = x et v = e-x
que vaut u' ? que vaut v' ?
Sous forme favorisée ?
En fait je ne sais pas comment passer de e-x-xe-x à (ex-xe-x)/e2x (en partant du principe que le résultat que j'ai trouvé soit bon...)
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