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DM fonction, dérivabilité
Bonjour à toutes et à tous, j'ai cet exercice dans mon dm de Maths, j'ai réussi la partie deux (car il est en deux parties), mais la partie une (celle ci dessous) est très compliquée. Pourtant elle doit être en lien avec la deuxième, mais je n'ai pas le lien. Pouvez vous donc m'aider pour cette exercice, qui est très long d'écriture mais qui doit être simple quand on a le truc, s'il vous plaît? Merci
Soit f une fonction dérivable sur R telle que pour tout réel x, f'(x)=f(x) et f(0)=1.
1- Soit g la fonction définie sur R par g(x)=f(x)f(-x)
a) Calculer g(0)
b) On admet que g est dérivable sur R. Démontrer que pour tout réel x, g'(x)=0
c) En déduire que pour tout réel x, f(x)f(-x)=1
d) Supposons qu'il existe un réel x(0) qui annule la fonction f. A quelle absurdité aboutit-on? Quelle conclusion peut-on en tirer concernant cette fonction?
2- Soit y un réel fixé. On appelle h la fonction définie sur R par h(x)= f(x+y)/f(x)
a) Calculer h(0)
b) On admet que h est dérivable sur R. Démontrer que pour tout réel x, h'(x)=0
c) En déduire que pour tout réel x, f(x+y)=f(x) x f(y)
d) Donner sans justifier l'expression de f(2x) en fonction de f(x) puis l'expression de f(x) en fonction de f(x/2)
e) En exploitant la question précédente ainsi que la 1-d), déterminer le signe de la fonction f ainsi que son tableau de variation (sans les limites). On fera apparaître l'image de 0.
3- On appelle k la fonction définie sur 0; +infini par k(x)=f(x)-x
a) On admet que k est dérivable sur 0 ; +infini. Donner sans justifier k'(x)
b) En exploitant la question 2-e), déterminer le sens de variations de k
c) En déduire que pour tout réel >(ou égal)0, f(x)>x
d) Que peut-on en déduire concernant la limite de f(x) en plus l'infini?
Je bloque dés le début de l'exercice, je n'ai pas capté le but. Pouvez vous m'aider à comprendre ça pour me faire avancer. Et si vous arrivez n'importe quelle question, dites le moi. S'il vous plaît, merci d'avance pour votre aide précieuse.
Bonjour,
la 1) est facile pourtant
g(0) ? fais x=0 dans l'expression de g(x)
g'(x) ? dérive g(x)
puis c) et d) s'en déduit
g(x) = f(x) * f(-x)
g(x) est sous la forme u * v
tu peux écrire sa dérivée ..
tu sais aussi f'(x)=f(x)
note aussi que f'(-x) = -f'(x)
vas y
Merci beaucoup, j'essaye de faire ça. C'est pour la b) et ça m'aide aussi pur la c) ce que vous dites!?
il me semble que tu a posté deux exercices que tu fais en parallèle..
tu risques des confusions..
Ce serait mieux d'en terminer un, puis de s'attaquer à l'autre, non ?
T'as bien raison, je vais faire ça oui, car je commence déjà à me perdre un peu. Je me pencherais sur l'autre plus tard. Merci beaucoup de m'aider.
g(x)=f(x) x f(-x) u= f(x) u'=f'(x)=f(x)
g(x)= u x v v=f(-x) v'=-f'(x)
g'(x)= u'v + uv'
g'x)= (f(x) x f(-x)) + (f(x) x -f'(x)
Mais cela n'est pas égal à 0 !?
Ou alors :
g(x)=f(x) x f(-x) u= f(x) u'=f'(x)=f(x)
g(x)= u x v v=f(-x) v'=-f'(x)
g'(x)= u'v + uv'
g'(x)= (f'(x) x f(-x)) + (f(x) x -f'(x)
Et là, les f'(x) s'annule et les f(x) aussi
évite de faire des multipliés avec des x 
g(x)=f(x)f(-x) effectivement tu dérives en u'v+v'u
si v=f(-x) alors v' = -f'(-x) et pas ce que tu as mis.
donc g'(x)= f'(x)f(-x)-f(x) f'(-x) mais on sait que f'(x) = f(x) donc
g'(x)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0
Ah ouais grave, mon erreur de signe a été fatal. En effet, c'est plus simple et ça marche. Merci bien, je vais en déduire la c). Puis vous demanderais confirmation, si ça ne vous gêne pas?!
c) En déduire que pour tout réel x, f(x)f(-x)=1
tu as montré que g'(x)=0, ça veut dire que g(x) est constant. Et en plus on t'a fait calculer g(0) donc ça devrait t'inspirer !
bonjour,
utilise les questions 1a et 1b..
tu as montré que g'(x)=0 pour tout x réél...
que peux tu en déduire pour la variation de g(x) ?
Ok cool j'ai réussi, j'en suis à démonter que h'(x)=0. Et j'ai un problème car je trouve f(x)^2 et pas zéro
h(x)= f(x+y)/f(x)
h'(x) = (f'(x+y)f(x)-f'(x)f(x+y))/f²(x) on a dérivé comme un u/v avec la formule (u'v-v'u)/v²
maintenant si tu remplaces f'(x+y) par f(x+y) et f'(x) par f(x), ça te donne quoi ?
Oui j'ai bien ça, la même écriture de h'(x). On est ok sur ce point, mais comment sait-on si ça fait 0 ou pas.
Ah oui grave, ça fait 0/f^2(x) donc forcément 0!!
AB-BA=0 totalement. Donc c'est juste, et est il nécessaire de remplacer f'(x+y) par f(x+y) et f'(x) par f(x)
est il nécessaire de remplacer f'(x+y) par f(x+y) et f'(x) par f(x)
Ben oui sinon on ne trouverait pas 0.
Et on ne sait pas que f'(x+y)=f(x+y), on sait juste que f'(x)=f(x) donc f'(x+y) donnerait f(x) * f'(y)
on ne sait pas que f'(x+y)=f(x+y)
Mais si !, on sait que f'(x)=f(x) pour toute valeur de x donc aussi pour un x qui vaudrait x+y
(et accessoirement pourquoi f'(x+y) vaudrait f'(x)f'(y)
n'importe quoi )Car f(x+y)= f(x) * f(y)
Peut-être mais c'est la question 2c) ça, on ne le sait pas encore. Et puis la dérivée de f(x)f(y) c'est pas f'(x)f'(y))
Donc on en est où ? h'(x)=0 donc h(x) = constante = h(0) par exemple = f(y)/f(0) = f(y)
donc h(x)= f(x+y)/f(x) = f(y)
f(x+y) = f(x)f(y) là on l'a vraiment démontré.
Maintenant si dans l'expression f(x+y) = f(x)f(y) tu fais x = y, ça donne quoi ?
Merci de m'aider, sans vous je ne saurais pas comment j'aurais fais. En plus vous m'aider à comprendre, pas juste à recopier des réponses.
donc avec x=y, f(x+y) = f(x)f(y) devient f(2x) = f(x)² OK ? c'est la 2d)
(et après tu transformes 2x en x en cette égalité)
réfléchis à la 2e), qu'est-ce que tu proposes ?
Oui je suis d'accord, j'avais déjà fais ça pour la 2-d). Je réfléchis cinq minutes pour la e, et je vous dis quand j'ai une idée
On a f(x)= f(x/2)^2 donc f(x) est forcément positif car un carré est toujours positif. Donc le tableau est une flèche qui monte, avec f(0)=1 ah milieu de la flèche entre moins l'infini et plus l'infini!?
oui très bien, f(x) >0 OK mais aussi f'(x) >0 puisque f'(x) = f(x)
c'est ça qui permet de dire que f est croissante.
Pour la 3, j'ai trouvé que k'(x)=f(x)-1.
Pour la b), vu que f(x)>0 et que k(x)= f(x) -1, k(x) est décroissante
heu non. k'(x) = f(x)-1 OK mais f(x) est croissante et f(0)=1 donc f(x)-1 > 0 et donc k(x) est croissant et pas décroissant.
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